Calcule as integrais definidas abaixo:
integral-1^2 x^2 e^x d x

Passo 1

Temos que calcular a integral definida integral-1^2 x^2 e^x ,dx. O conteúdo é integração por partes para produtos de polinômio e exponencial. Vamos aplicar duas vezes a técnica de partes para obter a primitiva.

Passo 2

Aplico a primeira integração por partes em integral x^2 e^x ,dx. Escolho u = x^2 e dv = e^x ,dx. Então du = 2x ,dx e v = e^x. Logo:
integral x^2 e^x ,dx = x^2 e^x - integral 2x e^x ,dx

Passo 3

Para integral 2x e^x ,dx, aplico integração por partes novamente. Escolho u = 2x e dv = e^x ,dx. Então du = 2 ,dx e v = e^x. Assim:
integral 2x e^x ,dx = 2x e^x - integral 2 e^x ,dx

Passo 4

Calculo integral 2 e^x ,dx diretamente:
integral 2 e^x ,dx = 2 e^x

Passo 5

Substituindo de volta em integral 2x e^x ,dx:
integral 2x e^x ,dx = 2x e^x - 2 e^x

Passo 6

Volto ao resultado de integral x^2 e^x ,dx. Substituindo integral 2x e^x ,dx temos:
integral x^2 e^x ,dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = e^x( x^2 - 2x + 2 ) + C

Passo 7

Avalio a primitiva F(x) = e^x(x^2 - 2x + 2) de -1 até 2: F(2)= e^2(4-4+2)=2e^2, F(-1)= e^-1(1+2+2)=5e^-1. Então: F(2)-F(-1)=2e^2 - 5e^-1.

Resposta

2e^2 - 5e^{-1}

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