Encontre as derivadas das seguintes funções inversas:
y=arccosec(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de . O conteúdo aqui é derivada de função inversa trigonométrica. Vamos usar diferenciação implícita e identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Reescrevemos a relação invertendo a função: . Diferenciando ambos os lados em relação a x=cosec(y) usando a derivada de :

Passo 3

Para eliminar as dependências em y, usamos identidades trigonométricas. Sabendo que sin(y)=1/x, temos
cosec(y)=x,
Em seguida,
cos(y)=raiz1-sin^2(y)=raizx^2-1|x|
Então

Passo 4

Substituindo em dxdy e invertendo para obter dydx, resulta:
dydx=-1|x|raizx^2-1

Resposta

-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

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