Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:
(x+y)^2+(x-y)^2=x^4-y^4

Passo 1

A gente tem a equação (x+y)^2+(x-y)^2=x^4-y^4. O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos derivar ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x e aplicar regra da cadeia para termos em y.

Passo 2

Antes de derivar, note que podemos simplificar o lado esquerdo:
(x+y)^2+(x-y)^2 = x^2+2xy+y^2 + x^2-2xy+y^2 = 2x^2+2y^2

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x:
Lado esquerdo:
ddx(2x^2) + ddx(2y^2) = 4x + 2l(2ydydxr) = 4x + 4y y'
Lado direito:
ddx(x^4) - ddx(y^4) = 4x^3 - 4y^3dydx = 4x^3 - 4y^3y'

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
4x + 4y y' = 4x^3 - 4y^3y'
Dividindo por 4 e coletando os termos com y':
x + y y' = x^3 - y^3y' y y' + y^3y' = x^3 - x

Passo 5

Fatorando y' no lado esquerdo e isolando-o:
y'(y + y^3) = x^3 - x y' = x^3-xy + y^3

Resposta

x(x^2-1)y(1+y^2)

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