Calcule a integral
integral0^pi2 integral0^sen(x) x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^pi2integral0^sin(x)x,dy,dx
Isso envolve integração iterada e, depois, uma integral de função de uma única variável que será resolvida por partes.

Passo 2

Primeiro integramos em y, mantendo x como constante:
integral0^sin(x)x,dy = xl[yr]0^sin(x) = xsin(x)

Passo 3

A integral dupla então se reduz a
integral0^pi2xsin(x),dx
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes.

Passo 4

Escolhemos as funções para integração por partes:

Logo
.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u v - integral v,du
obtemos
integral xsin(x),dx = -xcos(x) + integral cos(x),dx = -xcos(x) + sin(x) + C

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva de 0 a pi2:
No limite superior:
-tfracpi2cos(tfracpi2) + sin(tfracpi2) = 0 + 1 = 1
No limite inferior:
-0cdotcos(0) + sin(0) = 0
Subtraindo, o valor da integral é 1.

Resposta

1

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