Dadas as funções abaixo, determine suas derivadas, em relação ao seu argumento, até segunda ordem.
5.
f(x)=exp (-x^22 s)

Passo 1

Temos a função f(x)=expl(-tfracx^22sr). O objetivo é encontrar f'(x) e f''(x). Para isso vamos usar a regra da cadeia na primeira derivada e, na segunda, também a regra do produto.

Passo 2

Definimos u(x)=-tfracx^22s. Então
u'(x)=-2x2s=-xs,

Passo 3

e pela regra da cadeia
f'(x)=exp(u(x))cdot u'(x)=-xsexpl(-x^22sr)

Passo 4

Agora para f''(x) note que f'(x)=-tfracxsexp(u(x)). Vamos derivar isso usando a regra do produto: um fator -tfracxs e outro exp(u(x)). Assim
f''(x)=l(-xsr)'exp(u(x))+l(-xsr)l[exp(u(x))r]'

Passo 5

Calculando cada parte temos
l(-xsr)'=-1s, [exp(u(x))]'=exp(u(x))cdot u'(x)=exp(u(x))l(-xsr)

Passo 6

Substituindo em f''(x) e fatorando exp(u(x)):
f''(x)=-1sexp(u(x))+l(-xsr)exp(u(x))l(-xsr)

Passo 7

e portanto
f''(x)=exp(u(x))l(-1s+x^2s^2r)=expl(-x^22sr)l(x^2s^2-1sr)

Resposta

f'(x)=-xsexpl(-x^22sr), f''(x)=l(x^2s^2-1sr)expl(-x^22sr).

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