Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^2 1+raiz[3]xraizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
integral0^2 1+raiz[3]xraizx,dx
Isso cai em Integração de Funções Potência. Vamos usar que para nneq -1
integral x^n,dx=x^n+1n+1+C
e manipular o integrando transformando raízes em potências.

Passo 2

Primeiro reescrevemos as raízes como potências:
1+raiz[3]xraizx =l(1+x^1/3r)x^-1/2 = x^-1/2+x^1/3-1/2 = x^-1/2+x^-1/6
Então

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a fórmula de potência. Temos
integral x^-1/2,dx=2x^1/2, integral x^-1/6,dx=65x^5/6
Logo uma antiderivada é
F(x)=2x^1/2+65x^5/6

Passo 4

Basta avaliar entre 0 e 2:
integral0^2=F(2)-F(0) =l(2raiz2+652^5/6r)-0 =2raiz2+652^5/6

Resposta

2\sqrt2 + \frac{6}{5}2^{\frac{5}{6}}

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