Calcule as integrais definidas abaixo:
integral1^2 1x(ln x)^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida imprópria integral1^21x(ln x)^2,dx. O conteúdo envolve identificação de singularidade em x=1 (onde ln x=0) e uso de substituição para integrais com ln x.

Passo 2

Observamos que em x=1 o integrando fica não definido, logo trata-se de uma integral imprópria. Fazemos a substituição
u = ln x, du = 1x,dx
Com isso
integral1^21x(ln x)^2,dx = integralln 1^ln 21u^2,du = integral0^ln 2u^-2,du

Passo 3

Integramos integral u^-2,du = -u^-1 + C. Voltando à variável x, a primitiva é
F(x) = -1u = -1ln x

Passo 4

Agora avaliamos como limite impróprio:
integral1^21x(ln x)^2,dx = limato1^+l[F(2) - F(a)r] = limato1^+l(-1ln 2 + 1ln ar)
Como ln ato0^+ faz 1/ln ato+infty, o valor da integral diverge para +∞.

Resposta

A integral é divergente (tende a +∞).

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