Use o roteiro para construção de gráficos para esboçar as seguintes curvas:
x+cos x

Passo 1

Vamos resolver o esboço da curva y = x + cos x seguindo um roteiro passo a passo de construção de gráficos.

Passo 2

Resumo do enunciado e conteúdo: temos a função y = x + cos x, que mistura uma parte linear (x) com uma oscilação periódica (cos x). Para esboçar, vamos analisar domínio, simetria, periodicidade, derivadas (monotonia e concavidade), interceptos e comportamento para x → ±∞.

Passo 3

Domínio, simetria e periodicidade: o domínio é todo ℝ porque tanto x quanto cos x estão definidos para todo real. A função não é par nem ímpar (f(−x) = −x + cos x ≠ ±f(x)) e não é periódica, pois o termo x “quebra” qualquer repetição perfeita de cos x.

Passo 4

Derivada e monotonia: a derivada é
y' = 1 - sin x
Como −1 ≤ sin x ≤ 1, temos 0 ≤ y’ ≤ 2, ou seja, y’ nunca fica negativa. Então a função é estritamente crescente. Zera apenas quando sin x = 1, isto é em x = π/2 + 2πk, mas aí y’ toca zero e volta a ser positiva; são pontos de “tangente horizontal” sem mudança de subida.

Passo 5

Segunda derivada e concavidade: a segunda derivada é
y'' = -cos x
Ela muda de sinal sempre que cos x = 0, ou seja em x = π/2 + πk. Nesses pontos y’’ muda de negativo para positivo ou vice-versa, indicando pontos de inflexão.

Passo 6

Interceptos: no eixo y, em x = 0, y = 0 + cos 0 = 1, logo (0, 1). No eixo x, buscamos x + cos x = 0; numericamente há uma raiz única em torno de x ≃ -0.739 (essa equação não se resolve em forma fechada).

Passo 7

Comportamento para x → ±∞ e envelope: como cos x oscila entre −1 e +1, para grandes |x| a curva fica presa num “corredor” entre y = x - 1 e y = x + 1. Não há uma assíntota no sentido clássico (o resíduo oscila), mas o “eixo” y = x é a reta-guia principal.

Passo 8

Esboço final: a curva é uma reta y = x com oscilações de amplitude 1. Ela sobe sempre, toca tangente horizontal em x = π/2 + 2πk, tem inflexões em x = π/2 + πk, cruza o eixo x em x ≃ -0.739 e o eixo y em (0, 1), ficando sempre entre as retas y = x ± 1.

Resposta

Gráfico crescente de reta x com oscilações senoidais de amplitude 1, preso num corredor entre y = x − 1 e y = x + 1; tangente horizontal em x = π/2 + 2πk; inflexões em x = π/2 + πk; interceptos em (0, 1) e x ≃ −0.739.

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