Faça uma mudança para coordenadas polares e depois calcule as integrais abaixo.
integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^raiz2!integraly^raiz4-y^2x,y,dx,dy fazendo primeiro a mudança para coordenadas polares. Isso envolve entender a região de integração no plano (x,y), aplicar as fórmulas x=rcostheta, y=rsintheta e usar o Jacobiano dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 2

A região D é dada por 0<= y<= raiz2 e, para cada y, y<= x<=raiz4-y^2. No primeiro quadrante temos as curvas x=y (reta que faz theta=pi/4) e x^2+y^2=4 (círculo de raio 2). Além disso y>=0 implica 0<=theta<=pi/2, mas a condição x>= y restringe ainda mais a 0<=theta<=pi/4. O raio vai de 0 até a fronteira circular r=2.

Passo 3

Mudando para polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta

Passo 4

Assim a integral vira
integraltheta=0^pi/4!integralr=0^2(rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta=integral0^pi/4!integral0^2r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 5

Agora separamos as integrais, pois o integrando fatora:
integral0^pi/4costhetasintheta,dtheta;times;integral0^2r^3,dr

Passo 6

Calculemos primeiro a parte em r:
integral0^2r^3,dr=r^44|0^2=164=4

Passo 7

E a parte angular:
integral0^pi/4costhetasintheta,dtheta=12integral0^pi/4sin(2theta),dtheta=12l(-cos(2theta)2r)|0^pi/4=14(1-0)=14

Passo 8

Multiplicando dá 4timestfrac14=1.

Resposta

1

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