Questão 2.(2.7pt) Em cada ítem, seja
uma constante real qualquer
(V)
(F) (O)
(a)
implica
(V)
(F) (O) (b)
implica
(V)
(F) (O)
©
C
(V) (F) (O) (d)
implica
(V)
(F) (O) (e)
(V) (F) (O) (f)
(V)
(F) (O)
(a)
(V)
(F) (O) (b)
(V)
(F) (O)
©
(V) (F) (O) (d)
(V)
(F) (O) (e)
(V) (F) (O) (f)
Passo 1
O exercício traz seis itens que testam várias técnicas de integração: partes, mudança de variável, frações parciais e avaliação de integrais impróprias. Em cada item a ideia é verificar se a afirmação está correta (V) ou errada (F).
Passo 2
Para o item (a) fazemos integração por partes em
. Escolhendo
e
, temos
e
Pela fórmula
que coincide exatamente com o enunciado. Logo (a) é V.
Passo 3
No item (b) calculamos
por substituição
,
. As novas limites vão de
a
, e
$$\int_02\frac{x}{\sqrt{4-x2}},dx=\int_40\frac{-du/2}{\sqrt{u}}=\frac12\int_04u{-1/2},du=[\sqrt{u}]_04=2.
$$
Então (b) é V.
Então (b) é V.
Passo 4
No item © fazemos frações parciais em
. Buscando
vemos que o correto é
mas o enunciado deu coeficientes diferentes. Logo © é F.
Passo 5
No item (d) aplicamos partes em
com
,
. Isso leva à primitiva
e, avaliando de 1 a
que bate com o enunciado. Logo (d) é V.
Passo 6
No item (e) usamos a mesma primitiva do item (d) para a integral imprópria
. O limite em
de
é 0, de modo que a integral converge para
$$0-\bigl(-[\ln3+1]\bigr)=\ln3+1,
$$
e não diverge. A afirmação do enunciado está errada. Logo (e) é F.
e não diverge. A afirmação do enunciado está errada. Logo (e) é F.
Passo 7
No item (f) escrevemos
$$\frac1{x4+x2}=\frac1{x2(x2+1)}=\frac1{x2}-\frac1{x2+1}.
$$
Tomando dá
, conforme o enunciado. Logo (f) é V.
Tomando
Resposta
(a) V, (b) V, © F, (d) V, (e) F, (f) V