Questão 2.(2.7pt) Em cada ítem, seja C uma constante real qualquer
(V)
(F) (O)
(a) u=x^2 ; d v=x d xraiz4-x^2 implica integral x^3 d xraiz4-x^2=-x^2 raiz4-x^2+2 integral x raiz4-x^2 d x
(V)
(F) (O) (b) u=4-x^2 implica integral0^2 xraiz4-x^2 d x=integral4^0 -d u / 2raizu=integral0^4 12 u^-1 / 2 d u=[raizu]0^4=2
(V)
(F) (O)
© u=ln (3 x) ; d v=x^-2 d x C
(V) (F) (O) (d) integral1^infty x^-2 ln (3 x) d x=lim k infty integral1^k x^-2 ln (3 x) d x=lim k infty -ln (3 k)k-1k+ln (3)+1=-infty implica
(V)
(F) (O) (e)
(V) (F) (O) (f)

Passo 1

O exercício traz seis itens que testam várias técnicas de integração: partes, mudança de variável, frações parciais e avaliação de integrais impróprias. Em cada item a ideia é verificar se a afirmação está correta (V) ou errada (F).

Passo 2

Para o item (a) fazemos integração por partes em integral x^3,dxraiz4-x^2. Escolhendo u=x^2 e dv=x,dxraiz4-x^2, temos du=2x,dx e
v=integral x,dxraiz4-x^2=-raiz4-x^2
Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du segue
integral x^3,dxraiz4-x^2=-x^2raiz4-x^2+2integral xraiz4-x^2,dx,
que coincide exatamente com o enunciado. Logo (a) é V.

Passo 3

No item (b) calculamos integral0^2 xraiz4-x^2,dx por substituição u=4-x^2, du=-2x,dx. As novas limites vão de u(0)=4 a u(2)=0, e
$$\int_02\frac{x}{\sqrt{4-x2}},dx=\int_40\frac{-du/2}{\sqrt{u}}=\frac12\int_04u{-1/2},du=[\sqrt{u}]_04=2.
$$
Então (b) é V.

Passo 4

No item © fazemos frações parciais em integralx+3x^3+2x^2+x,dx=integralx+3x(x+1)^2,dx. Buscando A/x+B/(x+1)+C/(x+1)^2 vemos que o correto é
x+3x(x+1)^2=3x-2x+1-1(x+1)^2,
mas o enunciado deu coeficientes diferentes. Logo © é F.

Passo 5

No item (d) aplicamos partes em integral1^e x^-2ln(3x),dx com u=ln(3x), dv=x^-2dx. Isso leva à primitiva
-ln(3x)x-1x
e, avaliando de 1 a e, obtemos
1+ln3-1e-ln(3e)e,
que bate com o enunciado. Logo (d) é V.

Passo 6

No item (e) usamos a mesma primitiva do item (d) para a integral imprópria integral1^infty x^-2ln(3x),dx. O limite em xtoinfty de -[ln(3x)+1]/x é 0, de modo que a integral converge para
$$0-\bigl(-[\ln3+1]\bigr)=\ln3+1,
$$
e não diverge. A afirmação do enunciado está errada. Logo (e) é F.

Passo 7

No item (f) escrevemos
$$\frac1{x4+x2}=\frac1{x2(x2+1)}=\frac1{x2}-\frac1{x2+1}.
1x^4+x^2=1x^2(x^2+1)=1x^2-1x^2+1 \int_1k\frac{dx}{x4+x^2}=\Bigl[-\tfrac1x-\arctan x\Bigr]_1^k=-\tfrac1k-\arctan k+1+\tfrac{\pi}{4}.
$$
Tomando integral1^kdxx^4+x^2=l[-tfrac1x-arctan xr]1^k=-tfrac1k-arctan k+1+tfracpi4 ktoinfty, conforme o enunciado. Logo (f) é V.

Resposta

(a) V, (b) V, © F, (d) V, (e) F, (f) V

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