Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi / 2 cos ^4 theta d theta

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular integral0^pi/2 cos^4theta,dtheta. Isso é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar a técnica de redução de potência para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Para usar redução de potência, lembramos que
cos^2theta = 1 + cos 2theta2 Então
cos^4theta = (cos^2theta)^2 = (1 + cos 2theta2)^2 = 14l(1 + 2cos 2theta + cos^2 2thetar)

Passo 3

Reaplicando a redução em cos^2 2theta:
cos^2 2theta = 1 + cos 4theta2, logo
cos^4theta = 14l(1 + 2cos 2theta + 1 + cos 4theta2r) = 18(3 + 4cos 2theta + cos 4theta)

Passo 4

Substituindo na integral fica
integral0^pi/2cos^4theta,dtheta = 18[3integral0^pi/2dtheta + 4integral0^pi/2cos 2theta,dtheta + integral0^pi/2cos 4theta,dtheta]

Passo 5

Agora calculamos cada parte. Sabendo que
integral0^pi/2dtheta = pi2, e para k=2,4 temos
integral0^pi/2cos ktheta,dtheta = 1ksin ktheta|0^pi/2, mas sin(kpi/2)=0 quando k é par, logo as integrais com cos 2theta e cos 4theta dão zero. Assim:
3integral0^pi/2dtheta = 3cdotpi2, 4integral0^pi/2cos 2theta,dtheta = 0, integral0^pi/2cos 4theta,dtheta = 0

Passo 6

Substituindo de volta e simplificando:
integral0^pi/2cos^4theta,dtheta = 18l(3cdottfracpi2 + 0 + 0r) = 3pi16

Resposta

3pi16

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