Prove a seguinte identidades:
1+tanh (x)1-tanh (x)=e^2 x

Regra de l'Hopital

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 1+tanh(x)1-tanh(x)=e^2x. O conteúdo é função hiperbólica, e vamos precisar da definição
tanh(x)=e^x-e^-xe^x+e^-x
além da manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Começamos substituindo a definição de tanh(x) em 1+tanh(x) e em 1-tanh(x). Temos:
1+tanh(x)=1+e^x-e^-xe^x+e^-x=(e^x+e^-x)+(e^x-e^-x)e^x+e^-x=2e^xe^x+e^-x
1-tanh(x)=1-e^x-e^-xe^x+e^-x=(e^x+e^-x)-(e^x-e^-x)e^x+e^-x=2e^-xe^x+e^-x

Passo 3

Agora vamos formar o quociente pedido:
1+tanh(x)1-tanh(x)=2e^xe^x+e^-x2e^-xe^x+e^-x
Observe que o denominador (e^x+e^-x) e o fator 2 se cancelam, sobrando
1+tanh(x)1-tanh(x)=2e^x2e^-x=e^xcdot e^x=e^2x

Passo 4

Pronto! Mostramos passo a passo que o quociente realmente equivale a e^2x, sem pular nenhuma etapa.

Resposta

e^2x

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