Encontre o volume da região sólida descrita.
Sob o gráfico de f(x, y)=x y e acima do quadrado 0 <= x <= 2,0 <= y <= 2 no plano x y.

Passo 1

A gente quer encontrar o volume da região sólida que fica abaixo do gráfico de f(x,y)=xy e acima do quadrado R no plano xy dado por 0<= x<=2 e 0<= y<=2. Para isso vamos usar integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies.

Passo 2

O volume V sob a superfície z=f(x,y) sobre a região R é dado pela integral dupla de f em R:
V=integral duplaR f(x,y),dA
Como R é um retângulo, podemos escrever como integral iterada:
V=integralx=0^2integraly=0^2 x,y,dy,dx

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral interna em y. Como x é tratado como constante nessa etapa, temos:
integral0^2 x,y,dy = x integral0^2 y,dy = x [y^22]0^2 = x cdot 2 = 2x

Passo 4

Agora calculamos a integral externa em x:
V = integral0^2 2x,dx = 2 integral0^2 x,dx = 2 [x^22]0^2 = 2 cdot 2 = 4

Resposta

4

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