Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi / 2 sen^4 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma potência do seno, mais precisamente integral0^pi/2sin^4theta,dtheta. Isso envolve o tópico de integrais de potências de funções trigonométricas e vamos precisar usar identidades de redução de potência para o seno.

Passo 2

Para reduzir a potência usamos primeiro sin^2theta=tfrac1-cos2theta2. Então
sin^4theta=l(sin^2thetar)^2=l(1-cos2theta2r)^2=1-2cos2theta+cos^22theta4

Passo 3

Em seguida aplicamos cos^22theta=tfrac1+cos4theta2 e obtemos:
sin^4theta=1-2cos2theta+tfrac1+cos4theta24=38-12cos2theta+18cos4theta

Passo 4

Agora substituímos na integral e integramos termo a termo:
integral0^pi/2sin^4theta,dtheta=integral0^pi/2l(38-12cos2theta+18cos4thetar)dtheta

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
  • integral0^pi/238,dtheta=38,l[thetar]0^pi/2=38cdotpi2=3pi16.
  • integral0^pi/2-12cos2theta,dtheta=-12cdotsin2theta2l]0^pi/2=-14(sinpi-sin0)=0.
  • integral0^pi/218cos4theta,dtheta=18cdotsin4theta4l]0^pi/2=132(sin2pi-sin0)=0.

Resposta

3pi16

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