Questão 1.(2.7pt) Considere a função
s= -sen(pi x^2) & ,-1 <= x <= 1 (pi-1) x^2-2 x^-1+3-pi & , 1= 2
Abaixo: marque (V) se a afirmação é verdadeira; (F) se é falsa; e (O) para omitir parecer. Cada alternativa correta: conta 0.45 pt ; cada errada: desconta 0.15 pt .
(V) (F) (O) (a) s^prime não é contínua em x=1, mas seus limites laterais são positivos nesse ponto.
(V) (F) (O) (b) s é decrescente se 0, mas é crescente se x>1.
(V) (F) (O) © s^prime prime é descontínua em x=2, mas s^prime é contínua nesse ponto.
(V) (F) (O) (d) x=0, x= pm raiz22 e x=1raiz[3]1-pi são pontos extremos relativos de s.
(V) (F) (O) (e) s^prime é decrescente se -1, apesar de s^prime prime(0) e s=-1 serem nulos.
(V) (F) (O) (f) s é mínimo absoluto de s^prime prime=2 pi^2, e ocorre onde .

Passo 1

O enunciado define a função por partes em três intervalos e pede para marcarmos Verdadeiro, Falso ou Omitir em várias afirmações sobre continuidade de derivadas, monotonia e extremos. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada em cada trecho, verificar continuidade em x=1 e x=2, estudar sinais de s′ para monotonia e achar onde s′=0 para extremos.

Passo 2

Primeiro, derivamos em cada trecho. No trecho –1≤x≤1:
s(x)=-sin(pi x^2)
s'(x)=-2pi xcos(pi x^2)
s''(x)=-2picos(pi x^2)+4pi^2x^2sin(pi x^2)
No trecho 1<x<2:
s(x)=(pi-1)x^2-2x^-1+3-pi
s'(x)=2(pi-1)x+2x^-2
s''(x)=2(pi-1)-4x^-3
No trecho x≥2:
s(x)=(8pi-7)x2-5(pi-1)
s'(x)=8pi-72, s''(x)=0

Passo 3

Para a afirmação (a) checamos em x=1 os limites laterais de s’:
s'-(1)=-2picdot1cos(pi)=2pi, s'+(1)=2(pi-1)cdot1+2=2pi
Eles coincidem (2π>0), logo s’ é contínua em x=1. Afirmação (a) é Falsa.

Passo 4

Em (b) vemos que em 0<x<1 o sinal de s’(x) no primeiro trecho muda em x=1/√2 (cos muda de sinal), logo não é monotonicamente decrescente no inteiro (0,1). Para x>1 as derivadas nos dois últimos trechos são positivas, então cresce. Como a primeira parte da afirmação falha, (b) é Falsa.

Passo 5

Na afirmação © calculamos em x→2^-:
s'-(2)=4(pi-1)+tfrac12=4pi-3.5, s'+(2)=tfrac8pi-72=4pi-3.5
s’ é contínua. Mas
s''-(2)=2(pi-1)-tfrac48=2pi-2.5neq0=s''+(2)
logo s’’ é descontínua em 2. Afirmação © é Verdadeira.

Passo 6

Para (d) buscamos onde s’=0. No primeiro trecho: x=0 ou cos(πx^2)=0 ⇒ x=±1/√2. Nos outros trechos não há raízes em seus domínios. Portanto os únicos extremos são em x=0 e x=±1/√2. O ponto x=1/√[3]{1-π} citado não pertence ao domínio útil. Afirmação (d) é Falsa.

Passo 7

Em (e) seria necessário que s’’<0 em todo -1<x<1 para s’ decrescente. Mas s’’(±1/√2)=2π^2>0 e s’’(0)=-2π≠0, então s’ não é monotonicamente decrescente e s’’(0) não é nulo. Afirmação (e) é Falsa.

Passo 8

Por fim, em (f) vemos que o valor mínimo absoluto de s na parte -1≤x≤1 é -1, atingido em x=±1/√2, e nesses pontos calculamos
s''(±1/√2)=2pi^2>0
indicando mínimo e confirmando a afirmação. (f) é Verdadeira.

Resposta

(a) F; (b) F; © V; (d) F; (e) F; (f) V

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