O enunciado define a função por partes em três intervalos e pede para marcarmos Verdadeiro, Falso ou Omitir em várias afirmações sobre continuidade de derivadas, monotonia e extremos. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada em cada trecho, verificar continuidade em x=1 e x=2, estudar sinais de s′ para monotonia e achar onde s′=0 para extremos.
Passo 2
Primeiro, derivamos em cada trecho. No trecho –1≤x≤1:
s(x)=-sin(pi x^2)
s'(x)=-2pi xcos(pi x^2)
s''(x)=-2picos(pi x^2)+4pi^2x^2sin(pi x^2)
No trecho 1<x<2: s(x)=(pi-1)x^2-2x^-1+3-pi
s'(x)=2(pi-1)x+2x^-2
s''(x)=2(pi-1)-4x^-3
No trecho x≥2: s(x)=(8pi-7)x2-5(pi-1)
s'(x)=8pi-72, s''(x)=0
Passo 3
Para a afirmação (a) checamos em x=1 os limites laterais de s’:
s'-(1)=-2picdot1cos(pi)=2pi, s'+(1)=2(pi-1)cdot1+2=2pi
Eles coincidem (2π>0), logo s’ é contínua em x=1. Afirmação (a) é Falsa.
Passo 4
Em (b) vemos que em 0<x<1 o sinal de s’(x) no primeiro trecho muda em x=1/√2 (cos muda de sinal), logo não é monotonicamente decrescente no inteiro (0,1). Para x>1 as derivadas nos dois últimos trechos são positivas, então cresce. Como a primeira parte da afirmação falha, (b) é Falsa.
Para (d) buscamos onde s’=0. No primeiro trecho: x=0 ou cos(πx^2)=0 ⇒ x=±1/√2. Nos outros trechos não há raízes em seus domínios. Portanto os únicos extremos são em x=0 e x=±1/√2. O ponto x=1/√[3]{1-π} citado não pertence ao domínio útil. Afirmação (d) é Falsa.
Passo 7
Em (e) seria necessário que s’’<0 em todo -1<x<1 para s’ decrescente. Mas s’’(±1/√2)=2π^2>0 e s’’(0)=-2π≠0, então s’ não é monotonicamente decrescente e s’’(0) não é nulo. Afirmação (e) é Falsa.
Passo 8
Por fim, em (f) vemos que o valor mínimo absoluto de s na parte -1≤x≤1 é -1, atingido em x=±1/√2, e nesses pontos calculamos
s''(±1/√2)=2pi^2>0
indicando mínimo e confirmando a afirmação. (f) é Verdadeira.