Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l’ Hopital.
lim x 0 sin (x)-tan (x)x^3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0sin(x)-tan(x)x^3
Esse tipo de limite assume a forma indeterminada 0/0, então vamos usar a regra de l’Hôpital: derivar numerador e denominador até obter uma forma determinável.

Passo 2

Substituindo x=0 no numerador temos sin(0)-tan(0)=0-0=0 e no denominador 0^3=0. Como é 0/0, aplicamos l’Hôpital pela primeira vez derivando numerador e denominador:
num'(x)=cos(x)-sec^2(x),
den'(x)=3x^2
O limite vira
limxto0cos(x)-sec^2(x)3x^2

Passo 3

Verificando de novo em x=0: cos(0)-sec^2(0)=1-1=0 e 3cdot0^2=0, ainda é 0/0. Então aplicamos l’Hôpital pela segunda vez:
num''(x)=-sin(x)-2sec^2(x)tan(x),
den''(x)=6x
O limite passa a ser
limxto0-sin(x)-2sec^2(x)tan(x)6x

Passo 4

Substituindo x=0 nessa expressão: -sin(0)-2cdot1cdot0=0 e 6cdot0=0. Ainda 0/0, vamos a l’Hôpital pela terceira vez:
num'''(x)=-cos(x)-4sec^2(x)tan^2(x)-2sec^4(x),
den'''(x)=6
Assim o limite é
limxto0-cos(x)-4sec^2(x)tan^2(x)-2sec^4(x)6

Passo 5

Agora basta substituir x=0:
-cos(0)-4cdot1cdot0^2-2cdot1^2=-1-0-2=-3
Logo o limite vale
-3/6=-1/2

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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