Calcule as integrais definidas abaixo.
integral0^pi / 4(5 sec ^2(x)-3 sen(x)) d x. (Dica. Calcule a derivada de y=tg(x).)

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral definida de uma combinação de funções trigonométricas, usando que a derivada de tan(x) é sec^2(x) e que a derivada de cos(x) é -sin(x).

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em duas partes: calcular integral0^pi/45sec^2(x),dx e integral0^pi/4(-3sin(x)),dx.

Passo 3

Reconhecemos as antiderivadas: para sec^2(x) é tan(x), logo integral5sec^2(x),dx=5tan(x). Para sin(x) é -cos(x), então integral-3sin(x),dx=3cos(x).

Passo 4

Uma primitiva comum às duas parcelas é
F(x)=5tan(x)+3cos(x)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(pi/4)-F(0).

Passo 5

Calculamos:
F(pi/4)=5cdot1+3cdotraiz22=5+3raiz22
F(0)=5cdot0+3cdot1=3
Portanto a integral vale (5+tfrac3raiz22)-3=2+tfrac3raiz22.

Resposta

2 + 3raiz22

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