Calcule
lim x 0 tan x-sen xx^3

Passo 1

A questão pede para calcular limxto 0tan x - sin xx^3. Isso faz parte do conteúdo de limites com indeterminações, e para resolver vamos usar séries de Taylor (Maclaurin) em torno de zero.

Passo 2

Como quando xto 0 tanto tan x quanto sin x tendem a zero temos uma forma indeterminada 0/0. Nesses casos é clássico usar a expansão em série para aproximar as funções até a ordem necessária (aqui até x^3).

Passo 3

As séries de Maclaurin até a ordem x^3 são:
sin x = x - x^36 + O(x^5),
tan x = x + x^33 + O(x^5)
Aqui o termo O(x^5) indica termos de ordem x^5 ou superior, que vão desaparecer ao dividir por x^3.

Passo 4

Substituindo no numerador, temos:
tan x - sin x = l(x + x^33 + O(x^5)r) - l(x - x^36 + O(x^5)r) = x^3l(13 + 16r) + O(x^5) = x^32 + O(x^5)

Passo 5

Agora dividimos por x^3 e fazemos xto 0. O termo O(x^5)/x^3 = O(x^2) tende a zero, sobrando apenas 1/2.

Resposta

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