Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
que é o cilindro
entre os planos
e
. Como
é superfície de um sólido fechado, vamos usar o Teorema do Divergente, que diz
onde
é o volume limitado por
.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
O fluxo será
Como o domínio
é dado por
e
, podemos separar a integral em
e na seção transversal no plano
.
Passo 4
Integramos primeiro em
, pois o integrando não depende de
:
onde
é o disco unitário
.
Passo 5
Para calcular
,
vamos a coordenadas polares no plano :
vamos a coordenadas polares no plano
com
e
. Então
Mas
,
logo
.
Assim,
logo
Assim,
Passo 6
Voltando ao fluxo: