Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integralegral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=3 x y^2 i+x e^z j-z^3 k, S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro y^2+z^2=1 e os planos x=-1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=3xy^2,i+x e^z,j-z^3,k através da superfície fechada S que é o cilindro y^2+z^2=1 entre os planos x=-1 e x=2. Como S é superfície de um sólido fechado, vamos usar o Teorema do Divergente, que diz
integral duplaSFcdot dS ;=; integral triplaEnabla!cdot!F,dV,
onde E é o volume limitado por S.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nabla!cdot!F =partialpartial x(3xy^2) +partialpartial y(x e^z) +partialpartial z(-z^3) =3y^2+0-3z^2 =3l(y^2-z^2r)

Passo 3

O fluxo será
integral duplaSFcdot dS =integral triplaE3l(y^2-z^2r),dV
Como o domínio E é dado por -1<= x<=2 e y^2+z^2<=1, podemos separar a integral em x e na seção transversal no plano yz.

Passo 4

Integramos primeiro em x, pois o integrando não depende de x:
integral triplaE3(y^2-z^2),dV =3integralx=-1^2!!l[integral duplay^2+z^2<=1(y^2-z^2),dAr]dx =3l(2-(-1)r)integral duplay^2+z^2<=1(y^2-z^2),dA =9integral duplaD(y^2-z^2),dA,
onde D é o disco unitário y^2+z^2<=1.

Passo 5

Para calcular
integral duplaD(y^2-z^2),dA,
vamos a coordenadas polares no plano yz:
y = rsintheta, z = rcostheta, dA = r,dr,dtheta,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. Então
integral duplaD(y^2-z^2),dA =integral0^2pi!integral0^1l(r^2sin^2theta - r^2cos^2thetar)r,dr,dtheta =integral0^1r^3dr;integral0^2pil(sin^2theta-cos^2thetar)dtheta
Mas
integral0^2pisin^2theta,dtheta =integral0^2picos^2theta,dtheta =pi,
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integral0^2pi(sin^2theta-cos^2theta)dtheta=0.
Assim,
integral duplaD(y^2-z^2),dA = l(integral0^1r^3drr)cdot 0 =0

Passo 6

Voltando ao fluxo:
integral duplaSFcdot dS =9cdot 0 =0

Resposta

0

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