Questão 4. Considere a integral dupla
integral duplaR(2 x-y) sen(4 x^2-y^2) d A
onde R é a região limitada pelas retas y=2 x-1, y-2 x=-2, y=-2 x e y=-2 x-1.
(a) Faça um esboço da região R.
(b) Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: u=2 x+y, v=2 x-y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(2x - y),senl(4x^2-y^2r),dA
onde R é o paralelogramo limitado pelas retas
,y = 2x - 1,;y - 2x = -2,;y = -2x,;y = -2x - 1
Vamos (a) desenhar R e depois (b) aplicar a mudança de variáveis
u = 2x + y, v = 2x - y
para simplificar a integral.

Passo 2

Para esboçar R, achamos suas interseções:
Entre y = 2x-1 e y=-2x 2x-1=-2ximplies x=tfrac12,y=0.
Entre y = 2x-1 e y=-2x-1 2x-1=-2x-1implies x=0,y=-1.
Entre y-2x=-2 (isto é y=2x-2) e y=-2x 2x-2=-2ximplies x=tfrac12,y=-1.
Entre y-2x=-2 e y=-2x-1 2x-2=-2x-1implies x=tfrac14,y=-tfrac32.
Ligando esses quatro pontos formamos o paralelogramo R.

Passo 3

Aplicando
u=2x+y, v=2x-y
invertemos para
x=u+v4, y=u-v2
O jacobiano é
partial(x,y)partial(u,v) =1/4 & 1/41/2 & -1/2 =-tfrac14,
logo ,dA=|!-tfrac14|,du,dv=tfrac14,du,dv

Passo 4

Nas fronteiras de R cada reta vira
,y=-2ximplies u=0,
,y=-2x-1implies u=-1,
,y=2x-1implies v=1,
,y-2x=-2implies v=2
Portanto o domínio em (u,v) é o retângulo
-1<= u<=0, 1<= v<=2

Passo 5

No integrando temos
2x-y=v, 4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y)=uv,
então
(2x-y),sen(4x^2-y^2),dA =v,sen(uv),14,du,dv
A integral fica
I=14integralu=-1^0!integralv=1^2v,sen(u,v),dv,du
Integramos primeiro em u:
integralu=-1^0v,sen(uv),du =vl[-1vcos(uv)r]u=-1^0 =-cos(0)+cos(-v) =-1+cos v
Então
I=14integralv=1^2l(-1+cos vr),dv =14l[-v+sin vr]1^2 =14l[-(2-1)+(sin2-sin1)r]

Resposta

boxedI=14l(sin2-sin1-1r)

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