onde R é a região limitada pelas retas , e .
(a) Faça um esboço da região .
(b) Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde é o paralelogramo limitado pelas retas
Vamos (a) desenhar e depois (b) aplicar a mudança de variáveis
para simplificar a integral.
Passo 2
Para esboçar , achamos suas interseções:
Entre e dá .
Entre e dá .
Entre (isto é ) e dá .
Entre e dá .
Ligando esses quatro pontos formamos o paralelogramo .
Passo 3
Aplicando
invertemos para
O jacobiano é
logo ,dA=|!-tfrac14|,du,dv=tfrac14,du,dv
Passo 4
Nas fronteiras de R cada reta vira ,y=-2ximplies u=0, ,y=-2x-1implies u=-1, ,y=2x-1implies v=1, ,y-2x=-2implies v=2
Portanto o domínio em (u,v) é o retângulo
-1<= u<=0, 1<= v<=2
Passo 5
No integrando temos
2x-y=v, 4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y)=uv,
então
(2x-y),sen(4x^2-y^2),dA =v,sen(uv),14,du,dv
A integral fica
I=14integralu=-1^0!integralv=1^2v,sen(u,v),dv,du
Integramos primeiro em u:
integralu=-1^0v,sen(uv),du =vl[-1vcos(uv)r]u=-1^0 =-cos(0)+cos(-v) =-1+cos v