Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi / 2 sen^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a pi/2 de sin^2theta. O assunto é integração de funções trigonométricas e vamos usar a identidade de redução de potência para sin^2theta.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica de redução de potência:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2

Passo 3

Substituímos na integral:
integral0^pi/2 sin^2theta,dtheta = integral0^pi/2 1 - cos(2theta)2,dtheta = 12 integral0^pi/2 l(1 - cos(2theta)r) dtheta

Passo 4

Separamos em duas integrais:
12 l( integral0^pi/2 1,dtheta - integral0^pi/2 cos(2theta),dtheta r)

Passo 5

Integramos cada parte:
integral 1,dtheta = theta, integral cos(2theta),dtheta = sin(2theta)2

Passo 6

Portanto a antiderivada combinada é
12 l( theta - sin(2theta)2 r)

Passo 7

Agora avaliamos de 0 a pi/2:
No limite superior theta=pi/2:
theta - tfracsin(2theta)2 = pi2 - sin(pi)2 = pi2 - 0 = pi2

Passo 8

No limite inferior theta=0:
0 - tfracsin(0)2 = 0

Passo 9

A diferença é pi2 - 0 = pi2, multiplicando por tfrac12
12 cdot pi2 = pi4

Resposta

pi4

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