Calcule as integrais definidas abaixo.
integral0^pi / 4 sen(x) cos (x) d x (Dica. sen(x+y)=sen x cos y+sen y cos x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi/4 sen(x)cos(x),dx. O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para reescrever o integrando de forma mais simples.

Passo 2

Para usar a dica, aplicamos a identidade sen(x+y)=sen(x)cos(y)+sen(y)cos(x) com y=x. Isso dá:
sen(2x)=sen(x+x)=2sen(x)cos(x)

Passo 3

Daí isolamos o produto que aparece na integral:
sen(x)cos(x)=tfrac12sen(2x)

Passo 4

Assim a integral fica
integral0^pi/4sen(x)cos(x),dx=tfrac12integral0^pi/4sen(2x),dx

Passo 5

Agora calculamos a primitiva de sen(2x). Sabendo que ddx(cos(2x))=-2sen(2x), temos
integralsen(2x),dx=-tfrac12cos(2x)+C

Passo 6

Portanto
tfrac12integral0^pi/4sen(2x),dx=tfrac12l[-tfrac12cos(2x)r]0^pi/4=-tfrac14l(cos(tfracpi2)-cos(0)r)

Passo 7

Finalmente, como cos(tfracpi2)=0 e cos(0)=1, o valor da integral é
-tfrac14(0-1)=tfrac14

Resposta

tfrac14

Exercícios relacionados