Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi x sen(n x), n in N

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi xsin(n x),dx com ninN. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto entre uma função polinomial ( x) e uma trigonométrica ( sin(n x)).

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes: escolhemos u = x e dv = sin(n x),dx. Então temos du = dx e, ao integrar dv, obtemos v = -dfrac1ncos(n x).
Substituindo na fórmula integral u,dv = u v - integral v,du, obtemos
integral0^pi xsin(n x),dx = l(-xncos(n x)r)|0^pi + 1nintegral0^picos(n x),dx

Passo 3

Agora calculamos cada parte separadamente:
-xncos(n x)|0^pi = -pincos(npi) + 0 = -pin(-1)^n,
pois cos(npi)=(-1)^n. E
1nintegral0^picos(n x),dx = 1n[sin(n x)n]0^pi = 0

Passo 4

Somando esses resultados fica
integral0^pi xsin(n x),dx = -pin(-1)^n = (-1)^n+1pin

Resposta

(-1)^n+1pin

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