Se f: Omega C é dada por f(z)=c para alguma constante complexa c in C, mostre que f é holomorfa em Omega e que f^prime(z)=0 utilizando a definição de derivada complexa.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função constante f: Ω → ℂ dada por f(z) = c com c ∈ ℂ. O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada complexa para mostrar que f é holomorfa (i.e., diferenciável em cada ponto) e que sua derivada é zero.

Passo 2

A definição de derivada complexa no ponto z₀ ∈ Ω é dada por:
f'(z₀) = limh to 0 f(z₀ + h) - f(z₀)h

Passo 3

Como f é constante, para todo z₀ e todo pequeno h ≠ 0 temos f(z₀ + h) = c e f(z₀) = c. Logo o quociente fica:
f(z₀ + h) - f(z₀)h = c - ch = 0

Passo 4

Como esse quociente é exatamente 0 para todo h ≠ 0, o limite quando h → 0 é também 0. Portanto f’(z₀) existe e vale 0 para todo z₀ ∈ Ω, o que mostra que f é holomorfa em Ω com derivada identicamente zero.

Resposta

f é holomorfa em Ω e f’(z) = 0 para todo z ∈ Ω.

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