Se
é dada por
para alguma constante complexa
, mostre que
é holomorfa em
e que
utilizando a definição de derivada complexa.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função constante f: Ω → ℂ dada por f(z) = c com c ∈ ℂ. O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada complexa para mostrar que f é holomorfa (i.e., diferenciável em cada ponto) e que sua derivada é zero.
Passo 2
A definição de derivada complexa no ponto z₀ ∈ Ω é dada por:
Passo 3
Como f é constante, para todo z₀ e todo pequeno h ≠ 0 temos f(z₀ + h) = c e f(z₀) = c. Logo o quociente fica:
Passo 4
Como esse quociente é exatamente 0 para todo h ≠ 0, o limite quando h → 0 é também 0. Portanto f’(z₀) existe e vale 0 para todo z₀ ∈ Ω, o que mostra que f é holomorfa em Ω com derivada identicamente zero.
Resposta
f é holomorfa em Ω e f’(z) = 0 para todo z ∈ Ω.