Seja f: Omega C uma função holomorfa em z0 in C. Mostre que f é necessariamente contínua em z0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se f:OmegatoC é holomorfa em z0, então ela é contínua em z0. O conteúdo é a definição de derivada complexa e de continuidade, e vamos precisar usar a existência do limite do quociente de diferença para derivada e a definição epsilon-delta de continuidade.

Passo 2

Como f é holomorfa em z0, existe o limite que define a derivada em z0:
limz to z0 f(z)-f(z0)z-z0 = f'(z0)
Pelo fato desse limite existir e ser finito, existe de0 e M>0 tais que, se 0<|z-z0|, então
|f(z)-f(z0)z-z0| < M

Passo 3

A partir disso, para 0<|z-z0| temos
lvert f(z)-f(z0)rvert = |f(z)-f(z0)z-z0|;|z-z0| < M,|z-z0|
Agora, dado varepsilon>0, basta escolher de. Então, sempre que 0<|z-z0| temos M|z-z0|, logo lvert f(z)-f(z0)rvert.

Passo 4

Isso mostra exatamente, pela definição de limite, que limzto z0f(z)=f(z0), ou seja, f é contínua em z0.

Resposta

Portanto, f é contínua em z₀.

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