Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^2 pi|sen theta| d theta

Passo 1

O problema pede para calcular integral0^2pi|sintheta|,dtheta. Este é um caso de integral definida envolvendo valor absoluto de função periódica, e vamos usar a simetria de sintheta e a definição de valor absoluto para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembramos que |sintheta|=sintheta quando sintheta>=0, e |sintheta|=-sintheta quando sintheta<0. Sabe-se que sintheta é não negativa em [0,pi] e negativa em [pi,2pi]. Logo, fazemos a divisão da integral:
$$\int_{0}^{2\pi}|\sin\theta|,d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin\theta,d\theta
  • \int_{\pi}^{2\pi}(-\sin\theta),d\theta.$$

Passo 3

Calculamos a primeira parte:
integral0^pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi = l(-cospir) - l(-cos0r) = (-(-1)) - (-(1)) = 1 + 1 = 2

Passo 4

Calculamos a segunda parte:
integralpi^2pi(-sintheta),dtheta = l[costhetar]pi^2pi = cos(2pi) - cos(pi) = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora é só somar as duas partes: 2 + 2 = 4.

Resposta

4

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