Encontre o volume da região sólida descrita.
Região sólida limitada pelos planos z=3 y, z=y, y=1, x=1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos planos z=y, z=3y, y=1, x=1 e x=2. Vamos usar um integral tripla em coordenadas cartesianas, identificando primeiro os limites de x,y,z para descrever essa região.

Passo 2

Para definir os limites de y e z, observa-se que as superfícies z=y e z=3y se intersectam quando y=0 (linha z=0). Essa linha atua como uma fronteira natural da região. Como também temos a restrição y=1, concluímos que y varia de 0 a 1. Em cada fatia de y, z fica entre a superfície inferior z=y e a superior z=3y. Já x está limitado pelas retas x=1 e x=2.

Passo 3

Agora montamos a integral tripla do volume:
V = integralx=1^2!integraly=0^1!integralz=y^3y dz,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=y^3ydz = (3y - y) = 2y
O volume vira então:
V = integral1^2!integral0^12y,dy,dx

Passo 5

Calculamos a integral em y:
integral0^12y,dy = 2cdot1^22 = 1
Restando a integral em x:
V = integral1^21,dx = (2-1) = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados