Calcule a integral R onde é o disco de centro na origem e raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR sin(x^2+y^2),dA, onde R é o disco de centro na origem e raio 2. O conteúdo da matéria é integração em coordenadas polares. Para resolver, vamos usar a mudança de variável x = rcostheta, y = rsintheta e a fórmula dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Como x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta, reescrevemos a integral em polares:
integral duplaR sin(x^2+y^2),dA = integraltheta=0^2pi integralr=0^2 sin(r^2),r,dr,dtheta

Passo 3

A integral separa-se em parte angular e radial. A parte angular é integral0^2pidtheta=2pi. Na parte radial, usamos a substituição u=r^2, du=2r,dr (logo r,dr=du/2) para obter:
integral0^2 r,sin(r^2),dr = 12integral0^4 sin(u),du = 12l[-cos(u)r]0^4 = 12(1-cos4)

Passo 4

Multiplicando por 2pi, chegamos ao valor da integral sobre R.

Resposta

pi,(1 - cos4)

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