Questão 3.(1.6pt) ESCOLHA e resolva DUAS das alternativas abaixo:
Encontre a equação canônica e o vértice da parábola que tem foco F(-3,2) e diretriz y=6.

Passo 1

Temos foco F(-3,2) e diretriz y=6. O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e a distância de um ponto a uma reta para chegar à equação canônica e depois determinar o vértice.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P ao foco é raiz(x+3)^2+(y-2)^2 e a distância à diretriz y=6 é |y-6|. Igualando e elevando ao quadrado, temos:
(x+3)^2+(y-2)^2=(y-6)^2

Passo 3

Expandindo e simplificando cancelando y^2:
(x+3)^2+y^2-4y+4=y^2-12y+36
(x+3)^2+8y-32=0

Passo 4

Logo
(x+3)^2=-8(y-4)
Este já é o formato canônico (x-h)^2=4p(y-k) com h=-3, k=4 e 4p=-8 (logo p=-2), o que indica que a parábola abre para baixo.

Passo 5

O vértice V(h,k) fica exatamente no ponto médio entre o foco e a diretriz (na direção do eixo de simetria). Aqui o eixo é vertical em x=-3 e o valor de k é a média entre 2 (foco) e 6 (diretriz), ou seja, k=(2+6)/2=4. Portanto V(-3,4).

Resposta

Equação canônica: (x+3)^2 = -8(y-4). Vértice: (-3,4).

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