Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^1 x^2 raizx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral definida de 0 a 1 de x²√(x+1) dx. O conteúdo principal envolve mudança de variável (substituição) e aplicação da regra de potência para integrar expressões do tipo uⁿ.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = x + 1. Então dx = du, e quando x = 0 temos u = 1, e quando x = 1 temos u = 2. A integral vira
integralu=1^2(u-1)^2u^1/2,du

Passo 3

Expandimos o integrando usando (u−1)² = u² − 2u + 1 e a propriedade de potências:
(u-1)^2u^1/2 = (u^2 - 2u + 1)u^1/2 = u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2

Passo 4

Aplicamos a regra de potência integral u^ndu = u^n+1/(n+1). Assim obtemos como primitiva:
integral u^5/2du = 27u^7/2, integral u^3/2du = 25u^5/2, integral u^1/2du = 23u^3/2
Logo a antiderivada é
F(u) = 27u^7/2 - 2cdot25u^5/2 + 23u^3/2

Passo 5

Agora avaliamos de u = 1 até u = 2. Primeiro em u = 2 temos
2^7/2 = 8raiz2, 2^5/2 = 4raiz2, 2^3/2 = 2raiz2,
logo
F(2) = 27cdot8raiz2 - 45cdot4raiz2 + 23cdot2raiz2 = 44raiz2105
Em u = 1 cada termo vira 1, dando
F(1) = 27 - 45 + 23 = 16105
Subtraindo F(2) - F(1) resulta em
44raiz2105 - 16105 = 4,(11raiz2 - 4)105

Resposta

4,(11raiz2-4)105

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