Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral definida de 0 a 1 de x²√(x+1) dx. O conteúdo principal envolve mudança de variável (substituição) e aplicação da regra de potência para integrar expressões do tipo uⁿ.
Passo 2
Vamos usar a substituição u = x + 1. Então dx = du, e quando x = 0 temos u = 1, e quando x = 1 temos u = 2. A integral vira
Passo 3
Expandimos o integrando usando (u−1)² = u² − 2u + 1 e a propriedade de potências:
Passo 4
Aplicamos a regra de potência
. Assim obtemos como primitiva:
Logo a antiderivada é
Passo 5
Agora avaliamos de u = 1 até u = 2. Primeiro em u = 2 temos
logo
Em u = 1 cada termo vira 1, dando
Subtraindo F(2) - F(1) resulta em