Questão 3. Considerando a Curva do Oito, descrita pela equação y^4=y^2-x^2, encontre, mostrando seu desenvolvimento:
(a) (0.6 pt) as retas tangente e normal à curva no ponto .
(b)(0.4pt) as retas tangentes verticais dessa curva.

Passo 1

O enunciado pede para a curva do oito, definida implicitamente por y^4 = y^2 - x^2, encontrarmos a reta tangente e a reta normal no ponto Pl(tfracraiz34,,tfracraiz32r) e, em seguida, todas as retas tangentes verticais da curva. Vamos usar derivação implícita para achar y' e depois aplicar as fórmulas das retas.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de y^4 = y^2 - x^2 em relação a x. Como y depende de x, aplicamos a regra da cadeia:
4y^3 dydx = 2y dydx - 2x

Passo 3

Isolamos y' = dydx:
(4y^3 - 2y),y' = -2x Longrightarrow y' = -2x4y^3 - 2y

Passo 4

Para o ponto P, substituímos x = tfracraiz34 e y = tfracraiz32. Calculamos:
4y^3 - 2y = 4l(tfrac3raiz38r) - 2l(tfracraiz32r)=tfrac3raiz32-raiz3=tfracraiz32,
-2x = -2l(tfracraiz34r)= -tfracraiz32,
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y'(P)=-tfracraiz32tfracraiz32=-1

Passo 5

A equação da reta tangente em P(x0,y0) é y-y0 = m(x-x0) com m=-1. Para P fica:
y-tfracraiz32 = -1l(x-tfracraiz34r)Longrightarrow y = -x + tfrac3raiz34

Passo 6

A reta normal tem coeficiente angular mn=-1/m=1. Aplicando em P:
y-tfracraiz32 = 1l(x-tfracraiz34r)Longrightarrow y = x + tfracraiz34

Passo 7

Para retas tangentes verticais precisamos ter y'toinfty, ou seja, denominador 4y^3-2y=0 e numerador -2xneq0.

Passo 8

Resolvendo 4y^3-2y=2y(2y^2-1)=0 y=0 ou y=pmtfrac1raiz2. Em y=0 o ponto é x=0 e a derivada fica indeterminada, não é reta vertical. Para y=pmtfrac1raiz2 a curva dá x^2=y^2-y^4=tfrac12-tfrac14=tfrac14, ou seja, x=pmtfrac12 com xneq0. Assim as retas verticais são x=tfrac12 e x=-tfrac12.

Resposta

A reta tangente em P é:
y = -x + 3raiz34
A reta normal em P é:
y = x + raiz34
As retas tangentes verticais da curva são x = 12 e x = -12.

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