Questão 3. Considerando a Curva do Oito, descrita pela equação
, encontre, mostrando seu desenvolvimento:
(a)
as retas tangente e normal à curva no ponto
.
(b)(0.4pt) as retas tangentes verticais dessa curva.
(a)
(b)(0.4pt) as retas tangentes verticais dessa curva.
Passo 1
O enunciado pede para a curva do oito, definida implicitamente por
, encontrarmos a reta tangente e a reta normal no ponto
e, em seguida, todas as retas tangentes verticais da curva. Vamos usar derivação implícita para achar
e depois aplicar as fórmulas das retas.
Passo 2
Derivamos ambos os lados de
em relação a
. Como
depende de
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Isolamos
:
Passo 4
Para o ponto
, substituímos
e
. Calculamos:
logo
Passo 5
A equação da reta tangente em
é
com
. Para
fica:
Passo 6
A reta normal tem coeficiente angular
. Aplicando em
:
Passo 7
Para retas tangentes verticais precisamos ter
, ou seja, denominador
e numerador
.
Passo 8
Resolvendo
dá
ou
. Em
o ponto é
e a derivada fica indeterminada, não é reta vertical. Para
a curva dá
, ou seja,
com
. Assim as retas verticais são
e
.
Resposta
A reta tangente em P é:
A reta normal em P é:
As retas tangentes verticais da curva são
e
.