Um petroleiro derrama óleo no mar que se espalha em um padrão circular. Se o raio do óleo derramado cresce a uma taxa de 2 m / s, quão rápido a área do derramento está crescendo quando o raio é igual a 30 m ?
a) 120 pi m^2 / s
b) 60 pi m^2 / s
c) 30 pi m^2 / s
d) 20 pi m^2 / s
e) 10 pi m^2 / s

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a taxa de variação da área de um derramamento de óleo que se espalha em círculo. O conteúdo aqui é taxas relacionadas e derivadas. Vamos usar a fórmula da área de um círculo A = pi r^2, sabendo que drdt = 2 m/s. Precisamos achar dAdt quando r = 30 m.

Passo 2

Para relacionar as taxas, derivamos ambos os lados de A = pi r^2 em relação ao tempo t. Aplicando a regra da cadeia, obtemos dAdt = 2pi r cdot drdt. Aqui derivamos r^2 como 2r e multiplicamos por dr/dt.

Passo 3

Substituímos drdt = 2 m/s e r = 30 m em dAdt = 2pi r cdot drdt. Assim, calculamos:

Passo 4

dAdt = 2pi cdot 30 cdot 2 = 120pi m^2/s

Resposta

120pi m^2/s

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