Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l’ Hopital.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
usando a regra de l’Hôpital. O conteúdo envolve limites de funções, identificação de indeterminações e aplicação da técnica de reescrever produtos do tipo
como quocientes para usar l’Hôpital.
Passo 2
Quando
, temos
e
. Logo o produto
é da forma indeterminada
, o que exige reescrever a expressão como um quociente.
Para aplicar a regra de l’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
[\tan x\ln x = \frac{\ln x}{\cot x}.]
Para aplicar a regra de l’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
[\tan x\ln x = \frac{\ln x}{\cot x}.]
Passo 3
Agora verificamos que, quando
, o numerador
e o denominador
. Temos portanto a forma
e podemos usar l’Hôpital.
Passo 4
Aplicando l’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 5
O quociente de derivadas fica:
[\frac{1/x}{-\csc^2 x} = -\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\csc^2 x} = -\frac{\sin^2 x}{x}.]
[\frac{1/x}{-\csc^2 x} = -\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\csc^2 x} = -\frac{\sin^2 x}{x}.]
Passo 6
Agora calculamos o limite de
quando
. Usando que
, temos
, então
[-\frac{\sin^2 x}{x}\sim -\frac{x^2}{x} = -x \to 0.]
[-\frac{\sin^2 x}{x}\sim -\frac{x^2}{x} = -x \to 0.]
Resposta
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