Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l’ Hopital.
lim x 0^+ tan x ln x

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite limxto0^+tan xln x usando a regra de l’Hôpital. O conteúdo envolve limites de funções, identificação de indeterminações e aplicação da técnica de reescrever produtos do tipo 0cdot(-infty) como quocientes para usar l’Hôpital.

Passo 2

Quando xto0^+, temos tan xto0 e ln xto-infty. Logo o produto tan xln x é da forma indeterminada 0cdot(-infty), o que exige reescrever a expressão como um quociente.
Para aplicar a regra de l’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
[\tan x\ln x = \frac{\ln x}{\cot x}.]

Passo 3

Agora verificamos que, quando xto0^+, o numerador ln xto-infty e o denominador cot x=tfraccos xsin xto+infty. Temos portanto a forma tfrac-infty+infty e podemos usar l’Hôpital.

Passo 4

Aplicando l’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador:
  • Numerador: ddx[ln x]=1x.
  • Denominador: ddx[cot x]=-csc^2 x.

Passo 5

O quociente de derivadas fica:
[\frac{1/x}{-\csc^2 x} = -\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\csc^2 x} = -\frac{\sin^2 x}{x}.]

Passo 6

Agora calculamos o limite de -tfracsin^2 xx quando xto0^+. Usando que sin xsim x, temos sin^2 xsim x^2, então
[-\frac{\sin^2 x}{x}\sim -\frac{x^2}{x} = -x \to 0.]

Resposta

0

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