Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^2 e^xraiz1+e^x d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida de 0 a 2 de e^xraiz1+e^x,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, e vamos precisar usar a mudança de variável para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazendo a substituição u = 1 + e^x, temos du = e^x,dx. Quando x=0, u = 1 + e^0 = 2; quando x=2, u = 1 + e^2. Assim a integral se transforma em
integral0^2 e^xraiz1+e^x,dx = integral2^1+e^2 u^-1/2,du

Passo 3

Agora calculamos a integral de u^-1/2. Sabemos que
integral u^-1/2,du = 2u^1/2 + C
Aplicando aos limites de 2 a 1+e^2, temos
2raizu|2^1+e^2 = 2(raiz1+e^2 - raiz2)

Resposta

2\left(\sqrt{1+e^{2}} - \sqrt{2}\right)

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