Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l’ Hopital.

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite limxtoinfty(e^x + x)^1/x. Esse tipo de limite tem forma infty^0, então vamos usar a propriedade de se tomar logaritmo e a regra de l’Hôpital em uma forma tfracinftyinfty.

Passo 2

Definimos
L = limxtoinfty(e^x + x)^1/x
Para facilitar, calculamos primeiro o logaritmo de L. Pela propriedade de expoentes temos:
ln L = limxtoinftyln(e^x + x)x

Passo 3

Agora nosso objetivo é avaliar o limite
A = limxtoinftyln(e^x + x)x,
que é uma indeterminação do tipo tfracinftyinfty. Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
Numerador: ddxln(e^x + x) = e^x + 1e^x + x.
Denominador: ddxx = 1.
Portanto,
A = limxtoinftye^x + 1e^x + x
Dividindo numerador e denominador por e^x, obtemos
A = limxtoinfty1 + e^-x1 + x e^-x = 1+01+0 = 1

Passo 4

Como ln L = A = 1, concluímos que
L = e^ln L = e^1 = e

Resposta

e

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