Questão 3.(1.6pt) ESCOLHA e resolva DUAS das alternativas abaixo:
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas
gira em torno do eixo Y.
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas
Passo 1
O exercício pede para achar o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo Y, a região do plano limitada por
,
e
. Esse é um problema de sólidos de revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas para montar a integral.
Passo 2
Primeiro, encontramos onde a parábola
cruza o eixo X (curva
). Basta resolver
, o que dá
. Como a linha
fica à direita, o intervalo relevante em
é de 1 a 2.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, cada casca tem raio
(distância até o eixo Y) e altura
. Assim o volume é
Passo 4
Expandindo, temos
, então
$$V=2\pi\int_{1}{2}(x3-x),dx=2\pi\Bigl[\tfrac{x4}{4}-\tfrac{x2}{2}\Bigr]_{1}^{2}
=2\pi\Bigl(2-(-\tfrac14)\Bigr)=2\pi\cdot\tfrac{9}{4}.$$