Questão 3.(1.6pt) ESCOLHA e resolva DUAS das alternativas abaixo:
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas y=x^2-1, x=2, y=0 gira em torno do eixo Y.

Passo 1

O exercício pede para achar o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo Y, a região do plano limitada por y=x^2-1, x=2 e y=0. Esse é um problema de sólidos de revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas para montar a integral.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde a parábola y=x^2-1 cruza o eixo X (curva y=0). Basta resolver x^2-1=0, o que dá x=pm1. Como a linha x=2 fica à direita, o intervalo relevante em x é de 1 a 2.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, cada casca tem raio r(x)=x (distância até o eixo Y) e altura h(x)=l(x^2-1r)-0=x^2-1. Assim o volume é
V=2piintegral1^2r(x),h(x),dx=2piintegral1^2x(x^2-1),dx

Passo 4

Expandindo, temos x(x^2-1)=x^3-x, então
$$V=2\pi\int_{1}{2}(x3-x),dx=2\pi\Bigl[\tfrac{x4}{4}-\tfrac{x2}{2}\Bigr]_{1}^{2}
=2\pi\Bigl(2-(-\tfrac14)\Bigr)=2\pi\cdot\tfrac{9}{4}.$$

Resposta

tfrac9pi2

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