Calcule as integrais definidas abaixo. Justifique.
integral0^pi x cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi xcos x,dx
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que serve para integrar produtos de funções quando uma delas é fácil de derivar e a outra, de integrar.

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes para integrais de a a b:
integrala^b u,dv = l[u,vr]a^b - integrala^b v,du
Aqui escolhemos
u = x, dv = cos x,dx Longrightarrow du = dx, v = sin x
Logo,
integral0^pi xcos x,dx = l[xsin xr]0^pi - integral0^pi sin x,dx

Passo 3

Calculamos o termo de contorno:
l[xsin xr]0^pi = pisinpi - 0cdotsin0 = picdot 0 - 0 = 0

Passo 4

Agora avaliamos
integral0^pi sin x,dx
Como integral sin x,dx = -cos x, temos
integral0^pi sin x,dx = l[-cos xr]0^pi = l(-cospir) - l(-cos0r) = -(-1) -(-1) = 1 + 1 = 2
Portanto, voltando à integral original,
integral0^pi xcos x,dx = 0 - 2 = -2

Resposta

integral0^pi xcos x,dx = -2

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