Calcule as integrais indefinidas abaixo. Justifique.
integral 2 x raiz1-x d x.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular integral 2xraiz1-x,dx. O conteúdo aqui é integrais indefinidas e vamos usar a técnica de substituição de variável para lidar com a raiz raiz1-x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 1 - x,
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dt = -,dx e x = 1 - t,
então
dx = -,dt

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral 2xraiz1-x,dx = integral 2(1-t),t^1/2,(-dt) = -2integral (1-t),t^1/2,dt
Agora distribuímos dentro da integral:
-2integrall(t^1/2-t^3/2r),dt

Passo 4

Integramos termo a termo:
-2l(integral t^1/2,dt - integral t^3/2,dtr) = -2l(tfrac23t^3/2-tfrac25t^5/2r)+C = -tfrac43t^3/2+tfrac45t^5/2+C

Passo 5

Voltando à variável x com t=1-x, concluímos
integral 2xraiz1-x,dx = -tfrac43(1-x)^3/2+tfrac45(1-x)^5/2+C

Resposta

-43(1-x)^3/2+45(1-x)^5/2+C

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