Calcule as integrais indefinidas abaixo. Justifique.
integral 2 x-1x^2+x-2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x-1x^2+x-2,dx
O conteúdo da matéria é integração de funções racionais. Para resolver, vamos fatorar o denominador, usar decomposição em frações parciais e depois integrar termos do tipo integral1x-a,dx.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^2+x-2. Procuramos números que multiplicados dêem -2 e somados dêem 1. São 2 e -1. Logo,
x^2+x-2 = (x+2)(x-1)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
Comparando coeficientes:
Da primeira equação .

Passo 4

Substituindo A e B na integral, temos
integral 2x-1(x+2)(x-1),dx = integral l(tfrac5/3x+2 + tfrac1/3x-1r)dx = 53integral1x+2,dx + 13integral1x-1,dx

Passo 5

Usamos que integral 1x-a,dx = lnl|x-ar|+C. Assim,
53integral1x+2,dx = 53lnl|x+2r|, 13integral1x-1,dx = 13lnl|x-1r|
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

integral 2x-1x^2+x-2,dx = 53lnl|x+2r| ;+;13lnl|x-1r| ;+;C

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