Calcule as integrais definidas abaixo. Justifique.
(1,25) integral2^3 x^2+x+1x^2-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral2^3 x^2+x+1x^2-x,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional. Vamos primeiro notar que o denominador x^2-x=x(x-1) não se anula no intervalo [2,3], então a função é contínua ali e podemos integrar normalmente.

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos divisão de polinômios ou juntamos em uma expressão mais simples. Observamos que
x^2+x+1x^2-x =1+x^2+x+1-(x^2-x)x^2-x =1+2x+1x(x-1)

Passo 3

Agora decompondo em frações parciais
2x+1x(x-1)=Ax+Bx-1
Isso dá a identidade
2x+1=A(x-1)+B,x=(A+B)x - A
Comparando coeficientes, vem
A+B=2, -A=1 ;Longrightarrow; A=-1,;B=3
Logo
2x+1x(x-1)=-1x+3x-1
Portanto o integrando fica
x^2+x+1x^2-x =1-1x+3x-1

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral!1,dx = x, integral!-1x,dx = -ln|x|, integral!3x-1,dx = 3ln|x-1|
Então
integral2^3x^2+x+1x^2-x,dx =l[x - ln|x| + 3ln|x-1|r]2^3

Passo 5

Avaliaremos em x=3 e x=2:
em x=3: 3 - ln3 + 3ln2,
em x=2: 2 - ln2 + 3ln1 = 2 - ln2 pois ln1=0.
Subtraindo:
l(3 - ln3 + 3ln2r) -l(2 - ln2r) =1 - ln3 + 4ln2
Podemos reescrever 4ln2 = ln(2^4)=ln16, ficando
1 - ln3 + ln16 =1 + ln!l(tfrac163r)

Resposta

1 + ln!l(tfrac163r)

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