Calcule as integrais definidas abaixo. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
O conteúdo envolvido é integração de função racional. Vamos primeiro notar que o denominador
não se anula no intervalo
, então a função é contínua ali e podemos integrar normalmente.
Passo 2
Para simplificar a integral, fazemos divisão de polinômios ou juntamos em uma expressão mais simples. Observamos que
Passo 3
Agora decompondo em frações parciais
Isso dá a identidade
Comparando coeficientes, vem
Logo
Portanto o integrando fica
Passo 4
Integramos termo a termo:
Então
Passo 5
Avaliaremos em
e
:
em :
,
em :
pois
.
Subtraindo:
em
em
Subtraindo:
Podemos reescrever
, ficando