Calcule as integrais definidas. (Este exercício é para relembrar os seguintes métodos de integração: integração trigonométrica, substituição trigonométrica e frações parciais). \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{2} x d x
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
O integrando é \operatorname{sen}^{2}x\cos^{2}x (vou usar a notação trigonométrica usual em TeX: \sin x para \operatorname{sen}x e \cos x para \cos x).
O que é pedido: o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Estratégia inicial (lembrando fórmulas úteis): olhar para \sin^{2}x\cos^{2}x e tentar simplificá-lo com identidades trigonométricas para facilitar a integração sem complicar com frações parciais. Uma identidade útil é a do ângulo duplo:
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Dessa identidade segue que
\sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x.
Vou usar isso para transformar o produto em função de um único seno (ou cosseno) de ângulo duplo.
Passo 3
Aplicando a identidade ao integrando: elevar ao quadrado ambos os lados de \sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x. Isso dá
Explicação didática: ao escrever o produto \sin x\cos x como \tfrac{1}{2}\sin 2x eu reduzo a complexidade do integrando — em vez de um produto de quadrados eu passo a ter apenas \sin^{2} de um único ângulo (o ângulo 2x), que é fácil de integrar usando redução de potência.
Explicação das variáveis: a expressão \cos 4x tem período \tfrac{\pi}{2} na variável x, e a constante \tfrac{1}{8} pode ser colocada fora da integral para facilitar.
Pequeno reforço para memorização: uma forma rápida de pensar é usar \sin^{2}x\cos^{2}x=(\tfrac{1}{2}\sin 2x)^{2}=\tfrac{1}{4}\sin^{2}2x e depois aplicar a redução de potência. Muitas integrais com potências pares de seno e cosseno ficam bem simples com essas identidades.
Força aí — já tá resolvido e é um padrão que cai muito na prova!