Calcule as integrais definidas. (Este exercício é para relembrar os seguintes métodos de integração: integração trigonométrica, substituição trigonométrica e frações parciais).
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}^{2}x\cos^{2}x\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e \pi/2.
  • O integrando é \operatorname{sen}^{2}x\cos^{2}x (vou usar a notação trigonométrica usual em TeX: \sin x para \operatorname{sen}x e \cos x para \cos x).
O que é pedido: o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Estratégia inicial (lembrando fórmulas úteis): olhar para \sin^{2}x\cos^{2}x e tentar simplificá-lo com identidades trigonométricas para facilitar a integração sem complicar com frações parciais. Uma identidade útil é a do ângulo duplo:
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Dessa identidade segue que
\sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x.
Vou usar isso para transformar o produto em função de um único seno (ou cosseno) de ângulo duplo.

Passo 3

Aplicando a identidade ao integrando: elevar ao quadrado ambos os lados de \sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x. Isso dá
\sin^{2}x\cos^{2}x = \left(\tfrac{1}{2}\sin 2x\right)^{2} = \tfrac{1}{4}\sin^{2}2x.
Explicação didática: ao escrever o produto \sin x\cos x como \tfrac{1}{2}\sin 2x eu reduzo a complexidade do integrando — em vez de um produto de quadrados eu passo a ter apenas \sin^{2} de um único ângulo (o ângulo 2x), que é fácil de integrar usando redução de potência.
Portanto a integral vira
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\cos^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\tfrac{1}{4}\sin^{2}2x\,dx = \tfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}2x\,dx.

Passo 4

Agora usar a identidade de redução de potência para \sin^{2}: para qualquer variável \theta,
\sin^{2}\theta = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - \cos 2\theta\bigr).
Aqui vou aplicar com \theta = 2x. Assim
\sin^{2}2x = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - \cos 4x\bigr).
Substituindo na integral:
\tfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}2x\,dx = \tfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\tfrac{1}{2}\bigl(1 - \cos 4x\bigr)\,dx = \tfrac{1}{8}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1 - \cos 4x\bigr)\,dx.
Explicação das variáveis: a expressão \cos 4x tem período \tfrac{\pi}{2} na variável x, e a constante \tfrac{1}{8} pode ser colocada fora da integral para facilitar.

Passo 5

Integrar termo a termo:
\tfrac{1}{8}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1 - \cos 4x\bigr)\,dx = \tfrac{1}{8}\left[\int_{0}^{\pi/2}1\,dx - \int_{0}^{\pi/2}\cos 4x\,dx\right].
Calcular cada integral:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}1\,dx = \left. x\right|_{0}^{\pi/2} = \tfrac{\pi}{2}.
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos 4x\,dx = \left.\tfrac{1}{4}\sin 4x\right|_{0}^{\pi/2}.
Avaliar \sin 4x nos limites: \sin(4\cdot\tfrac{\pi}{2})=\sin(2\pi)=0 e \sin 0=0. Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos 4x\,dx = \tfrac{1}{4}\bigl(0-0\bigr)=0.

Passo 6

Substituindo os resultados em \tfrac{1}{8}\left[\tfrac{\pi}{2} - 0\right] obtemos
\tfrac{1}{8}\cdot \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{16}.
Portanto a integral é \tfrac{\pi}{16}.
Pequeno reforço para memorização: uma forma rápida de pensar é usar \sin^{2}x\cos^{2}x=(\tfrac{1}{2}\sin 2x)^{2}=\tfrac{1}{4}\sin^{2}2x e depois aplicar a redução de potência. Muitas integrais com potências pares de seno e cosseno ficam bem simples com essas identidades.
Força aí — já tá resolvido e é um padrão que cai muito na prova!

Resposta

\dfrac{\pi}{16}

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