Calcule as integrais, utilizando integração por partes.
\int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e} x^{2}\ln x\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são x=1 e x=e.
  • A função integranda é x^{2}\ln x.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Apresentando a fórmula de integração por partes (e explicando por que ela vale).
Começamos da regra do produto para derivadas:
\frac{d}{dx}(u(x)\,v(x)) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Integrando ambos os lados em um intervalo [a,b] e usando a linearidade da integral:
\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}(u v)\,dx = \int_{a}^{b}u'v\,dx + \int_{a}^{b}u v'\,dx.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}(u v)\,dx = u(b)v(b)-u(a)v(a).
Reorganizando para isolar \int_{a}^{b}u v'\,dx obtemos a fórmula de integração por partes (para integrais definidas):
\int_{a}^{b}u(x)\,v'(x)\,dx = \bigl[u(x)v(x)\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}u'(x)\,v(x)\,dx.
Explicação das letras:
  • u(x) é uma função que vamos derivar (tornando-a mais simples quando possível).
  • v'(x) é a parte que vamos integrar para obter v(x).
  • A escolha de u e v' é estratégica: prefere-se u que simplifique ao derivar e v' que seja fácil de integrar.

Passo 3

Escolha das funções para aplicar a integração por partes na integral dada.
Temos \int_{1}^{e} x^{2}\ln x\,dx. Uma escolha natural é:
u(x)=\ln x,\qquad v'(x)=x^{2}.
Justificativa: ao derivar \ln x obtemos \dfrac{1}{x}, que é mais simples; x^{2} é fácil de integrar para obter v(x).

Passo 4

Calcular u'(x) e v(x).
Derivando u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Integrando v' para obter v:
v(x)=\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Agora temos u(x)=\ln x, u'(x)=\dfrac{1}{x}, v(x)=\dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes (definida) com os componentes escolhidos.
Pela fórmula,
\int_{1}^{e} x^{2}\ln x\,dx = \biggl[\ln x\cdot \frac{x^{3}}{3}\biggr]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}\,dx.
Simplificando o integrando da segunda parcela:
\frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{2}}{3}.
Logo
\int_{1}^{e} x^{2}\ln x\,dx = \biggl[\frac{x^{3}}{3}\ln x\biggr]_{1}^{e} - \frac{1}{3}\int_{1}^{e} x^{2}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral remanescente \int_{1}^{e} x^{2}\,dx e avaliar as expressões nos limites.
Primeiro,
\int_{1}^{e} x^{2}\,dx = \biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{1}^{e} = \frac{e^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} = \frac{e^{3}-1}{3}.
Substituindo em nossa expressão:
\int_{1}^{e} x^{2}\ln x\,dx = \biggl[\frac{x^{3}}{3}\ln x\biggr]_{1}^{e} - \frac{1}{3}\cdot \frac{e^{3}-1}{3}.
Agora avaliamos \bigl[\dfrac{x^{3}}{3}\ln x\bigr]_{1}^{e}:
\left.\frac{x^{3}}{3}\ln x\right|_{x=e} = \frac{e^{3}}{3}\cdot 1 = \frac{e^{3}}{3}, \qquad \left.\frac{x^{3}}{3}\ln x\right|_{x=1} = \frac{1^{3}}{3}\cdot 0 = 0.
Portanto
\biggl[\frac{x^{3}}{3}\ln x\biggr]_{1}^{e} = \frac{e^{3}}{3}-0 = \frac{e^{3}}{3}.
E
\frac{1}{3}\cdot \frac{e^{3}-1}{3} = \frac{e^{3}-1}{9}.

Passo 7

Reunir tudo e escrever a expressão final antes da simplificação final.
Usando os resultados anteriores,
\int_{1}^{e} x^{2}\ln x\,dx = \frac{e^{3}}{3} - \frac{e^{3}-1}{9}.

Resposta

\dfrac{2e^{3}+1}{9}

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