Calcule as integrais, utilizando integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função integranda é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Apresentando a fórmula de integração por partes (e explicando por que ela vale).
Começamos da regra do produto para derivadas:
Integrando ambos os lados em um intervalo
e usando a linearidade da integral:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Reorganizando para isolar
obtemos a fórmula de integração por partes (para integrais definidas):
Explicação das letras:
-
é uma função que vamos derivar (tornando-a mais simples quando possível). -
é a parte que vamos integrar para obter . - A escolha de
e é estratégica: prefere-se que simplifique ao derivar e que seja fácil de integrar.
Passo 3
Escolha das funções para aplicar a integração por partes na integral dada.
Temos
. Uma escolha natural é:
Justificativa: ao derivar
obtemos
, que é mais simples;
é fácil de integrar para obter
.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivando
:
Integrando
para obter
:
Agora temos
,
,
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes (definida) com os componentes escolhidos.
Pela fórmula,
Simplificando o integrando da segunda parcela:
Logo
Passo 6
Calcular a integral remanescente
e avaliar as expressões nos limites.
Primeiro,
Substituindo em nossa expressão:
Agora avaliamos
:
Portanto
E
Passo 7
Reunir tudo e escrever a expressão final antes da simplificação final.
Usando os resultados anteriores,