Calcule as integrais, utilizando integração por partes.
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x \ln (\cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x \ln(\cos x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \operatorname{sen} x \ln(\cos x).
  • Os limites de integração são 0 e \dfrac{\pi}{3}.
O que se quer: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Estratégia escolhida: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela é útil aqui.
Fórmula de integração por partes (regra de Leibniz para produtos):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Significado: escolher uma parte do integrando como u (que vamos diferenciar) e outra parte como dv (que vamos integrar). Boa escolha de u é algo cuja derivada fica mais simples; dv deve ser algo que dá uma primitiva simples.
No nosso integrando \operatorname{sen} x \ln(\cos x), a presença de \ln(\cos x) sugere tomar
u=\ln(\cos x), \qquad dv=\operatorname{sen} x\,dx,
porque a derivada de \ln(\cos x) simplifica para uma função trigonométrica simples (aparece uma tangente), enquanto a primitiva de \operatorname{sen} x é imediata.

Passo 3

Calcular du e v.
Derivada de u=\ln(\cos x):
du = \frac{d}{dx}\ln(\cos x)\,dx = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)\,dx = \frac{1}{\cos x}\cdot(-\operatorname{sen} x)\,dx = -\tan x\,dx.
Explicação: derivada de \ln(t) é 1/t vezes t'; aqui t=\cos x e t'=-\operatorname{sen} x.
Primitiva de dv=\operatorname{sen} x\,dx:
v=\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x.
Explicação: derivada de -\cos x é \operatorname{sen} x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \operatorname{sen} x \ln(\cos x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \operatorname{sen} x \ln(\cos x)\,dx = \ln(\cos x)\cdot(-\cos x) - \int (-\cos x)\cdot(-\tan x)\,dx.
Simplificar os sinais:
\int \operatorname{sen} x \ln(\cos x)\,dx = -\cos x\ln(\cos x) - \int \cos x\cdot\tan x\,dx.
Agora simplificar o integrando da última integral usando \tan x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}:
\cos x\cdot\tan x = \cos x\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \operatorname{sen} x.
Portanto
\int \operatorname{sen} x \ln(\cos x)\,dx = -\cos x\ln(\cos x) - \int \operatorname{sen} x\,dx.
Calcular \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x. Então
\int \operatorname{sen} x \ln(\cos x)\,dx = -\cos x\ln(\cos x) - (-\cos x) + C = -\cos x\ln(\cos x) + \cos x + C.
Fatorando:
\int \operatorname{sen} x \ln(\cos x)\,dx = \cos x\bigl(1-\ln(\cos x)\bigr) + C.
Breve verificação (útil na prova): derivando \cos x(1-\ln(\cos x)) volta-se a \operatorname{sen} x \ln(\cos x), então a antiderivada está correta.

Passo 5

Agora aplicar aos limites de integração 0 e \dfrac{\pi}{3}.
Antiderivada escolhida:
F(x)=\cos x\bigl(1-\ln(\cos x)\bigr).
Calcular F\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Sabendo que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} e \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2:
F\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\Bigl(1-\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr) = \frac{1}{2}\bigl(1-(-\ln 2)\bigr) = \frac{1}{2}(1+\ln 2).
Calcular F(0). Sabendo que \cos 0=1 e \ln 1=0:
F(0)=1\cdot(1-0)=1.
Portanto a integral definida é
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x \ln(\cos x)\,dx = F\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-F(0) = \frac{1}{2}(1+\ln 2) - 1.

Passo 6

Simplificar o resultado:
\frac{1}{2}(1+\ln 2) - 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln 2 - 1 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2}\bigl(\ln 2 - 1\bigr).
Um comentário rápido para animar: o resultado é negativo se \ln 2 < 1, e como \ln 2\approx 0,693<1 a integral é negativa — faz sentido porque \ln(\cos x) é negativo no intervalo considerado e \operatorname{sen} x é positivo, então o integrando é negativo.

Resposta

\dfrac{1}{2}\bigl(\ln 2 - 1\bigr)

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