Calcule as integrais, utilizando integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
O que se quer: o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Estratégia escolhida: integração por partes. Vou explicar a fórmula e por que ela é útil aqui.
Fórmula de integração por partes (regra de Leibniz para produtos):
Significado: escolher uma parte do integrando como
(que vamos diferenciar) e outra parte como
(que vamos integrar). Boa escolha de
é algo cuja derivada fica mais simples;
deve ser algo que dá uma primitiva simples.
No nosso integrando
, a presença de
sugere tomar
porque a derivada de
simplifica para uma função trigonométrica simples (aparece uma tangente), enquanto a primitiva de
é imediata.
Passo 3
Calcular
e
.
Derivada de
:
Explicação: derivada de
é
vezes
; aqui
e
.
Primitiva de
:
Explicação: derivada de
é
.
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificar os sinais:
Agora simplificar o integrando da última integral usando
:
Portanto
Calcular
. Então
Fatorando:
Breve verificação (útil na prova): derivando
volta-se a
, então a antiderivada está correta.
Passo 5
Agora aplicar aos limites de integração
e
.
Antiderivada escolhida:
Calcular
. Sabendo que
e
:
Calcular
. Sabendo que
e
:
Portanto a integral definida é
Passo 6
Simplificar o resultado:
Um comentário rápido para animar: o resultado é negativo se
, e como
a integral é negativa — faz sentido porque
é negativo no intervalo considerado e
é positivo, então o integrando é negativo.