Calcule as integrais definidas. (Este exercício é para relembrar os seguintes métodos de integração: integração trigonométrica, substituição trigonométrica e frações parciais).
\int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \operatorname{cotg}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/6}^{\pi/2} \operatorname{cotg}^{2} x \, dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são x=\pi/6 e x=\pi/2.
  • A função a integrar é \operatorname{cotg}^{2} x (cotangente ao quadrado).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica \operatorname{cotg}^2 x. Partimos da identidade fundamental
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Dividindo ambos os lados por \sin^{2}x (válido quando \sin x\neq0, o que é verdade no intervalo (\pi/6,\pi/2]), obtemos
1+\cot^{2}x=\csc^{2}x.
Rearranjando:
\cot^{2}x=\csc^{2}x-1.
Explicação rápida: \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. A identidade vem de dividir \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 por \sin^{2}x.

Passo 3

Substituímos a identidade dentro da integral para transformá-la em algo que sabemos integrar:
\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cot^{2}x\,dx = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \big(\csc^{2}x-1\big)\,dx.

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Precisamos lembrar as primitivas:
  • A derivada de \cot x é -\csc^{2}x. Portanto uma primitiva de \csc^{2}x é -\cot x.
  • Uma primitiva de 1 é x.
Logo uma primitiva da função integrando é
-\cot x - x.
Explicando a derivada usada: como \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, aplicando a regra do quociente obtém-se \dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x; por isso \int \csc^{2}x\,dx=-\cot x.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos a primitiva nos limites:
\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cot^{2}x\,dx = \big[-\cot x - x\big]_{\,\pi/6}^{\,\pi/2}.
Calculemos os valores necessários:
  • \cot\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0 porque \cos(\tfrac{\pi}{2})=0 e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1.
  • \cot\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\sqrt{3} porque \cot 30^\circ=\dfrac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}.

Passo 6

Substituindo:
\big[-\cot x - x\big]_{\,\pi/6}^{\,\pi/2} = \big(-\cot(\tfrac{\pi}{2})-\tfrac{\pi}{2}\big)-\big(-\cot(\tfrac{\pi}{6})-\tfrac{\pi}{6}\big).
Usando os valores:
= \big(-0-\tfrac{\pi}{2}\big)-\big(-\sqrt{3}-\tfrac{\pi}{6}\big) = -\tfrac{\pi}{2} + \sqrt{3} + \tfrac{\pi}{6}.
Agora somamos os termos em \pi:
-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{6} = -\tfrac{3\pi}{6}+\tfrac{\pi}{6} = -\tfrac{2\pi}{6} = -\tfrac{\pi}{3}.
Portanto o resultado final é
\sqrt{3}-\tfrac{\pi}{3}.

Resposta

\sqrt{3}-\dfrac{\pi}{3}

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