Calcule as integrais definidas. (Este exercício é para relembrar os seguintes métodos de integração: integração trigonométrica, substituição trigonométrica e frações parciais).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
(cotangente ao quadrado).
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica
. Partimos da identidade fundamental
Dividindo ambos os lados por
(válido quando
, o que é verdade no intervalo
), obtemos
Rearranjando:
Explicação rápida:
e
. A identidade vem de dividir
por
.
Passo 3
Substituímos a identidade dentro da integral para transformá-la em algo que sabemos integrar:
Passo 4
Agora integramos termo a termo. Precisamos lembrar as primitivas:
- A derivada de
é . Portanto uma primitiva de é . - Uma primitiva de
é .
Logo uma primitiva da função integrando é
Explicando a derivada usada: como
, aplicando a regra do quociente obtém-se
; por isso
.
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliamos a primitiva nos limites:
Calculemos os valores necessários:
-
porque e . -
porque .
Passo 6
Substituindo:
Usando os valores:
Agora somamos os termos em
:
Portanto o resultado final é