Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - É uma integral definida — queremos um número.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o integrando escrevendo tudo como potência de
. Lembrando que
é expoente
, temos
Assim
Agora a integral fica
um formato pronto para aplicar a regra de potência para integrais.
Passo 3
Regra de potência para integração (a ferramenta principal aqui):
Para qualquer ,
Para qualquer
Explicando por que isso vale: ao derivar
obtém-se
(pela regra do poder na diferenciação), então isso é uma antiderivada de
. Aqui
é a constante de integração (não necessária no cálculo de uma integral definida, mas é boa lembrar).
Passo 4
Aplicando a regra com
. Calculamos
:
A antiderivada (primitiva) de
é
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, logo a primitiva pode ser escrita como
Podemos também reescrever
como
, então a primitiva é
.
Passo 5
Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida entre
e
é a primitiva avaliada em
menos a primitiva avaliada em
. Assim
Calculemos cada termo com cuidado:
Substituindo:
Podemos racionalizar
e escrever a resposta de forma alternativa: