Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{1}^{8} \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{8} \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}.
  • Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=8 (superior).
  • É uma integral definida — queremos um número.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando escrevendo tudo como potência de x. Lembrando que \sqrt{\cdot} é expoente 1/2, temos
\sqrt{x^{3}} = (x^{3})^{1/2} = x^{3/2}.
Assim
\frac{1}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{1}{x^{3/2}} = x^{-3/2}.
Agora a integral fica
\int_{1}^{8} x^{-3/2}\,dx,
um formato pronto para aplicar a regra de potência para integrais.

Passo 3

Regra de potência para integração (a ferramenta principal aqui):
Para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando por que isso vale: ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtém-se x^{n} (pela regra do poder na diferenciação), então isso é uma antiderivada de x^{n}. Aqui C é a constante de integração (não necessária no cálculo de uma integral definida, mas é boa lembrar).

Passo 4

Aplicando a regra com n=-\tfrac{3}{2}. Calculamos n+1:
n+1 = -\tfrac{3}{2} + 1 = -\tfrac{1}{2}.
A antiderivada (primitiva) de x^{-3/2} é
\frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{x^{-1/2}}{-1/2}.
Dividir por -\tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar por -2, logo a primitiva pode ser escrita como
-2\,x^{-1/2}.
Podemos também reescrever x^{-1/2} como \dfrac{1}{\sqrt{x}}, então a primitiva é -\dfrac{2}{\sqrt{x}}.

Passo 5

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida entre 1 e 8 é a primitiva avaliada em 8 menos a primitiva avaliada em 1. Assim
\int_{1}^{8} x^{-3/2}\,dx = \left[-2\,x^{-1/2}\right]_{1}^{8} = -2\cdot 8^{-1/2} - \bigl(-2\cdot 1^{-1/2}\bigr).
Calculemos cada termo com cuidado:
8^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}, \qquad 1^{-1/2} = 1.
Substituindo:
-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} - \bigl(-2\cdot 1\bigr) = -\frac{2}{2\sqrt{2}} + 2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2.
Podemos racionalizar \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} e escrever a resposta de forma alternativa:
2 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4-\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}

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