Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{1}^{2} \frac{s^{4}+1}{s^{2}} d s

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{s^{4}+1}{s^{2}}\,ds.
Informações dadas:
  • Integrando: \dfrac{s^{4}+1}{s^{2}}.
  • Intervalo de integração: de s=1 até s=2.
  • Não há outras condições; é uma integral definida padrão.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica do integrando, porque isso deixa a integração direta. Usamos a propriedade
\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c},
aplicada com a=s^{4}, b=1 e c=s^{2}. Assim,
\frac{s^{4}+1}{s^{2}}=\frac{s^{4}}{s^{2}}+\frac{1}{s^{2}}.
Agora aplicamos a regra de potências para dividir potências de mesma base: s^{4}/s^{2}=s^{4-2}=s^{2}. Também escrevemos 1/s^{2} como s^{-2}. Portanto
\frac{s^{4}+1}{s^{2}}=s^{2}+s^{-2}.

Passo 3

Com a simplificação, a integral separa em duas integrais mais simples por linearidade:
\int_{1}^{2}\frac{s^{4}+1}{s^{2}}\,ds=\int_{1}^{2} s^{2}\,ds+\int_{1}^{2} s^{-2}\,ds.

Passo 4

Recordando a regra básica de antiderivadas (regra da potência): para n\neq -1,
\int s^{n}\,ds=\frac{s^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicamos esta regra aos dois termos:
  • Para n=2: \displaystyle \int s^{2}\,ds=\frac{s^{3}}{3}+C.
  • Para n=-2: \displaystyle \int s^{-2}\,ds=\frac{s^{-1}}{-1}+C=-s^{-1}+C=-\frac{1}{s}+C.
Assim uma primitiva comum para s^{2}+s^{-2} é
F(s)=\frac{s^{3}}{3}-\frac{1}{s}.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva F(s):
\int_{1}^{2}\frac{s^{4}+1}{s^{2}}\,ds=\left[\frac{s^{3}}{3}-\frac{1}{s}\right]_{1}^{2}.
Calculando os valores nos extremos:
  • Em s=2: \displaystyle \frac{2^{3}}{3}-\frac{1}{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{2}.
  • Em s=1: \displaystyle \frac{1^{3}}{3}-\frac{1}{1}=\frac{1}{3}-1.
Subtraindo:
\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{8}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1.
Agrupando termos semelhantes:
\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{3}+\frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{7}{3}+\frac{1}{2}=\frac{14}{6}+\frac{3}{6}=\frac{17}{6}.

Resposta

\dfrac{17}{6}

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