Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro vamos manipular algebricamente o integrando para deixá-lo em potências de
, que é mais fácil de integrar à mão. Lembrando que
, temos:
Agora simplificamos cada termo usando
:
Portanto o integrando fica
Passo 3
Vou aplicar a regra de potência para primitivar (integrar) cada termo. A regra de potência diz:
Também vale que constantes multiplicativas saem da integral:
Usarei essas propriedades para cada termo
e
.
Passo 4
Calculemos as primitivas termo a termo.
Para o termo
:
- Aqui
. Então
Como
, isso dá
Para o termo
:
- Aqui
. Então
Como
, isso dá
Somando as duas primitivas, uma antiderivada (função
) é
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
, onde
é a antiderivada encontrada. Vamos calcular
e
.
Passo 6
Calcule
:
- Primeiro
. - Depois
.
Assim
Calcule
:
-
e .
Assim
Passo 7
Finalmente subtraímos: