Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{1}^{4}\left(\frac{4+6 u}{\sqrt{u}}\right) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\left(\frac{4+6u}{\sqrt{u}}\right)\,du.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{4+6u}{\sqrt{u}}.
  • Os limites de integração são u=1 (inferior) e u=4 (superior).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro vamos manipular algebricamente o integrando para deixá-lo em potências de u, que é mais fácil de integrar à mão. Lembrando que \sqrt{u}=u^{1/2}, temos:
\frac{4+6u}{\sqrt{u}} = \frac{4}{u^{1/2}} + \frac{6u}{u^{1/2}}.
Agora simplificamos cada termo usando u^{a}/u^{b}=u^{a-b}:
\frac{4}{u^{1/2}} = 4u^{-1/2},\qquad \frac{6u}{u^{1/2}} = 6u^{1/2}.
Portanto o integrando fica
\frac{4+6u}{\sqrt{u}} = 4u^{-1/2} + 6u^{1/2}.

Passo 3

Vou aplicar a regra de potência para primitivar (integrar) cada termo. A regra de potência diz:
\text{se }n\neq -1,\quad \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Também vale que constantes multiplicativas saem da integral:
\int c\cdot f(u)\,du = c\int f(u)\,du.
Usarei essas propriedades para cada termo 4u^{-1/2} e 6u^{1/2}.

Passo 4

Calculemos as primitivas termo a termo.
Para o termo 4u^{-1/2}:
  • Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Então
\int 4u^{-1/2}\,du = 4\cdot\frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 4\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}.
Como \dfrac{1}{1/2}=2, isso dá
\int 4u^{-1/2}\,du = 4\cdot 2\,u^{1/2}=8u^{1/2}.
Para o termo 6u^{1/2}:
  • Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então
\int 6u^{1/2}\,du = 6\cdot\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}=6\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}.
Como \dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}, isso dá
\int 6u^{1/2}\,du = 6\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2}=4u^{3/2}.
Somando as duas primitivas, uma antiderivada (função F(u)) é
F(u)=8u^{1/2}+4u^{3/2}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é F(4)-F(1), onde F é a antiderivada encontrada. Vamos calcular F(4) e F(1).

Passo 6

Calcule F(4):
  • Primeiro 4^{1/2}=\sqrt{4}=2.
  • Depois 4^{3/2}=(4^{1/2})^3=2^3=8.
    Assim
F(4)=8\cdot 2 + 4\cdot 8 = 16 + 32 = 48.
Calcule F(1):
  • 1^{1/2}=1 e 1^{3/2}=1.
    Assim
F(1)=8\cdot 1 + 4\cdot 1 = 8 + 4 = 12.

Passo 7

Finalmente subtraímos:
\int_{1}^{4}\left(\frac{4+6u}{\sqrt{u}}\right)\,du = F(4)-F(1) = 48 - 12 = 36.

Resposta

36

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