Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de x=1 até x=2.
  • A função a integrar é \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{4}{x^{3}}.

Passo 2

Primeiro simplifico a notação reescrevendo as potências como expoentes negativos, o que facilita aplicar a regra de potências:
\frac{1}{x^{2}}=x^{-2},\qquad \frac{4}{x^{3}}=4x^{-3},
logo a integral fica
\int_{1}^{2}\left(x^{-2}-4x^{-3}\right)\,dx.

Passo 3

Vou usar a regra básica de integração (regra da potência): para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicando: essa fórmula vem de inverter a derivada \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=(n+1)\dfrac{x^{n}}{n+1}=x^{n}. Aqui x é a variável de integração e n é o expoente.

Passo 4

Aplico a regra termo a termo aos dois termos x^{-2} e -4x^{-3}.
Para x^{-2} (onde n=-2):
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.
Para -4x^{-3} (fator constante -4 sai da integral, com n=-3):
\int -4x^{-3}\,dx=-4\int x^{-3}\,dx=-4\cdot\frac{x^{-3+1}}{-3+1}=-4\cdot\frac{x^{-2}}{-2}= -4\cdot\left(-\frac{1}{2}x^{-2}\right)=2x^{-2}=\frac{2}{x^{2}}.
Somando as duas primitivas, uma antiderivada F(x) da função integranda é
F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
\int_{1}^{2}\left(x^{-2}-4x^{-3}\right)\,dx=F(2)-F(1),
onde F é a antiderivada encontrada.

Passo 6

Avalio F nos extremos:
Calculo F(2):
F(2)=-\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0.
Calculo F(1):
F(1)=-\frac{1}{1}+\frac{2}{1^{2}}=-1+2=1.
Portanto
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{3}}\right)\,dx=F(2)-F(1)=0-1.

Passo 7

Como checagem rápida, derivando F(x) deve-se obter a integranda:
F'(x)=\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}+2x^{-2}\right)=x^{-2}-4x^{-3},
que é exatamente a função dentro da integral. Assim a antiderivada está correta.

Resposta

-1

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