Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A função a integrar é
.
Passo 2
Primeiro simplifico a notação reescrevendo as potências como expoentes negativos, o que facilita aplicar a regra de potências:
logo a integral fica
Passo 3
Vou usar a regra básica de integração (regra da potência): para todo
,
Explicando: essa fórmula vem de inverter a derivada
. Aqui
é a variável de integração e
é o expoente.
Passo 4
Aplico a regra termo a termo aos dois termos
e
.
Para
(onde
):
Para
(fator constante
sai da integral, com
):
Somando as duas primitivas, uma antiderivada
da função integranda é
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
onde
é a antiderivada encontrada.
Passo 6
Avalio
nos extremos:
Calculo
:
Calculo
:
Portanto
Passo 7
Como checagem rápida, derivando
deve-se obter a integranda:
que é exatamente a função dentro da integral. Assim a antiderivada está correta.
Resposta
-1