Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(e) integral 23 x^2 raizx^2-36 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que é:
integral 23 x^2 raizx^2-36 , dx
Aqui, estamos trabalhando com integração por substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadraticos. Vamos precisar lembrar algumas substituições trigonométricas padrão para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral:
integral 23 x^2 raizx^2-36 , dx = 23 integral 1x^2 raizx^2-36 , dx
Agora, focamos em resolver:
integral 1x^2 raizx^2-36 , dx

Passo 3

Para resolver integrais que envolvem x = 6 sec theta , usamos a substituição trigonométrica dx = 6 sec theta tan theta , dtheta . Aqui, raizx^2 - 36 = raiz36 sec^2 theta - 36 = raiz36 (sec^2 theta - 1) = raiz36 tan^2 theta = 6 tan theta porque . Então, fazemos:
Dessa forma, será:
E a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Substituindo todas essas expressões na integral original, temos:
integral 1x^2 raizx^2-36 , dx = integral 1(6 sec theta)^2 cdot 6 tan theta cdot 6 sec theta tan theta , dtheta
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculemos (6 sec theta)^2 = 36 sec^2 theta :
integral 136 sec^2 theta cdot 6 tan theta cdot 6 sec theta tan theta , dtheta
Agora, substituindo na integral:
integral 136 sec^2 theta cdot 6 tan theta cdot 6 sec theta tan theta , dtheta = integral 136 sec theta , dtheta = 136 integral cos theta , dtheta
Simplificando os termos:
Aqui usamos o fato de que .

Passo 6

Integrando 136 integral cos theta , dtheta = 136 sin theta + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sin theta = opostohipotenusa = raizx^2 - 36x . Lembrando que fizemos , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de .
No triângulo:
  • A hipotenusa é
  • O cateto adjacente é
  • O cateto oposto é
Então, é:

Passo 8

Substituindo 136 sin theta + C = 136 cdot raizx^2 - 36x + C = raizx^2 - 3636x + C de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral indefinida é:
raizx^2 - 3636x + C

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