Encontrar a função f(x) tal que:
(b) integral raizx^4-9 cdot f^prime(x) d x=7 x^2+c e f(raiz3)=8 ln 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função que satisfaz a equação e que . Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa integral. Sabemos que se , então derivando ambos os lados em relação a , temos .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, derivamos o lado direito da equação:
ddx(7x^2 + c) = 14x
Então, temos:
raizx^4-9 cdot f^prime(x) = 14x

Passo 4

Agora, isolamos f^prime(x) = 14xraizx^4-9 :
f(x) = integral 14xraizx^4-9 , dx + C
Para encontrar , precisamos integrar :

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Fazendo uma substituição:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2
Substituindo na integral:
f(x) = 14 cdot 12 integral 1raizu^2-9 , du + C = 7 integral 1raizu^2-9 , du + C
Sabemos que:
integral 1raizu^2-a^2 , du = ln|u + raizu^2-a^2| + C
Aplicando isso:
f(x) = 7 ln|u + raizu^2-9| + C = 7 ln|x^2 + raizx^4-9| + C

Passo 6

Agora, usamos a condição f(raiz3) = 7 ln(raiz3^2 + raiz(raiz3)^4-9) + C = 7 ln(3 + 0) + C = 7 ln 3 + C = 8 ln 3 para encontrar C = 8 ln 3 - 7 ln 3 = ln 3 :
Então:

Resposta

Portanto, a função f(x) = 7 ln(x^2 + raizx^4-9) + ln 3 é:

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